Toán 12 GTLN của biểu thức P = 2x + y

[Thichtoanhoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xét các số thực x,y thảo mãn [tex]x^{2}[/tex] + [tex]y^{2} > 1[/tex] và [tex]\log_{x^{2}+y^{2}}(2x+3y) \geq 1[/tex]. GTLN [tex]P_{max}[/tex] của biểu thức P = 2x + y bằng :
A.[tex]\frac{7-\sqrt{10}}{2}[/tex]
B.[tex]\frac{19+\sqrt{19}}{2}[/tex]
C.[tex]\frac{7+\sqrt{65}}{2}[/tex]
D.[tex]\frac{11+10\sqrt{2}}{3}[/tex]

 

[utopiaguy]

Từ điều kiện đề bài ta có $ 2x+3y \geq x^{2}+y^{2} $.
Suy ra: $ 2x+y+1 \geq \frac{4x^{2}}{4}+(y-1)^{2} \geq \frac{(2x+y-1)^{2}}{5} $ (Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz)
đặt 2x+y=t. Suy ra: $ t+1 \geq \frac{(t-1)^{2}}{5} $, do đó: $ t \leq \frac{7+\sqrt{65}}{2} $