Toán 9 Gọi Q, V lần lượt là hình chiếu của H lên EF và DF, QV cắt AD tại I, EI cắt DF tại S. Chứng minh:..

[huubay]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R). Gọi H là giao điểm của ba đường cao BE, CF và AD.
a. Chứng minh: tứ giác BEFC và AFHE nội tiếp.
b. Vẽ đường kính AK của (O). Chứng minh: AK.AD = AB.AC.
c. Gọi N là giao điểm của OA và EF. Chứng minh: tứ giác NHDK nội tiếp.
d. Gọi Q, V lần lượt là hình chiếu của H lên EF và DF, QV cắt AD tại I, EI cắt DF tại S.
Chứng minh: SI = IE.

 

[Ann Lee]

Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R). Gọi H là giao điểm của ba đường cao BE, CF và AD.
a. Chứng minh: tứ giác BEFC và AFHE nội tiếp.
b. Vẽ đường kính AK của (O). Chứng minh: AK.AD = AB.AC.
c. Gọi N là giao điểm của OA và EF. Chứng minh: tứ giác NHDK nội tiếp.
d. Gọi Q, V lần lượt là hình chiếu của H lên EF và DF, QV cắt AD tại I, EI cắt DF tại S.
Chứng minh: SI = IE.

c) Tứ giác [TEX]EHDC[/TEX] nội tiếp nên chứng minh được [tex]AH.AD=AE.AC[/tex]
Chứng minh [tex]OA\perp EF[/tex] tại N ( tham khảo một cách chứng minh cái này ở câu d tại đây)
Tứ giác [TEX]ENKC[/TEX] nội tiếp nên chứng minh được [tex]AN.AK=AE.AC[/tex]
Suy ra [TEX]AH.AD=AN.AK[/TEX]
Do đó chứng minh được tứ giác [TEX]NHDK[/TEX] nội tiếp
d) Có các tứ giác [TEX]FHDB;HECD[/TEX] nội tiếp nên
[tex]\widehat{FDH}=\widehat{FBH}=\widehat{FCE}=\widehat{FDE}[/tex]
suy ra [TEX]DH[/TEX] là tia phân giác của [tex]\widehat{FDE}[/tex]
Tương tự: [TEX]EH[/TEX] là tia phân giác của [tex]\widehat{EFD}[/tex]
Suy ra $H$ là tâm đường tròn nội tiếp [tex]\Delta FED[/tex]
Lại có: [tex]HV\perp FD;HQ\perp FE[/tex]
Nên [TEX]FQ;FV[/TEX] lần lượt là các tiếp tuyến tại tiếp điểm [TEX]Q;V[/TEX]
Chứng minh được [tex]FH\perp QV[/tex]
Mà [tex]FH\perp AB(gt)\Rightarrow AB//VI[/tex]
[tex]\Rightarrow \widehat{QIH}=\widehat{BAD}=\widehat{DCH}=\widehat{DEH}=\widehat{HEQ}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] Tứ giác [TEX]QIEH[/TEX] nội tiếp
[tex]\Rightarrow \widehat{EIH}=\widehat{EQH}=90^{\circ}\\\Rightarrow DH\perp ES[/tex]
Mặt khác [TEX]DH[/TEX] là tia phân giác của [tex]\widehat{FDE}[/tex]
Nên [tex]\Delta SDE[/tex] cân tại D và [TEX]DI[/TEX] là đường trung tuyến của [TEX]SE[/TEX]
[tex]\Rightarrow SI=IE(dpcm)[/tex]