Toán 10 Góc và khoảng cách

[Tinh Tinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $$\Delta m: (m-2)x+(m-1)y+2m-1=0$$ và hai điểm A(2;3), B(1;0)
a, Tìm m để đt delta m và đt AB có ít nhất một điểm chung
b, Tìm m để khoảng cách từ A đến đt delta m là lớn nhất
Hi vọng các bạn giúp mình giải chi tiết bài này với ạ (bài này có trong sbt nhưng mình coi lời giải mà thấy giải thích trong đấy hơi khó hiểu)

 

[7 1 2 5]

a) Phương trình đường thẳng AB là: $$\frac{x-2}{1-2}=\frac{y-3}{0-3}\Rightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{3}\Rightarrow 3x-6=y-3\Rightarrow 3x-y-3=0$$
Để AB và [TEX]\Delta m[/TEX] có ít nhất 1 điểm chung thì AB cắt [TEX]\Delta m[/TEX] hoặc AB trùng [TEX]\Delta m[/TEX]
+ AB cắt [TEX]\Delta m[/TEX] $$\Rightarrow \frac{m-2}{3}\neq \frac{m-1}{-1}\Leftrightarrow 2-m\neq 3m-3\Leftrightarrow 4m-5\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{5}{4}$$
+ AB trùng [TEX]\Delta m[/TEX] $$\Rightarrow \frac{m-2}{3}=\frac{m-1}{-1}=\frac{2m-1}{-3}\Rightarrow m=\frac{5}{4}(không t/m)$$
Vậy $$m\neq \frac{5}{4}$$
b) Áp dụng công thức tính khoảng cách : $$d_{A,\Delta m}=\frac{2(m-2)+3(m-1)+2m-1}{\sqrt{(m-2)^2+(m-1)^2}}=\frac{7m-8}{\sqrt{2m^2-6m+5}}$$
Ta có: $$d^2=\frac{49m^2-112m+64}{2m^2-6m+5}=37-\frac{25m^2-110m+121}{2m^2-6m+5}=37-\frac{(5m-11)^2}{2(m-\frac{3}{2})^2+\frac{1}{2}}\leq 37$$ $$\Rightarrow d\leq \sqrt{37}$$
Dấu "=" xảy ra khi $$5m-11=0\Rightarrow m=\frac{11}{5}$$

 

[Tinh Tinh]

a) Phương trình đường thẳng AB là: $$\frac{x-2}{1-2}=\frac{y-3}{0-3}\Rightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{3}\Rightarrow 3x-6=y-3\Rightarrow 3x-y-3=0$$
Để AB và [TEX]\Delta m[/TEX] có ít nhất 1 điểm chung thì AB cắt [TEX]\Delta m[/TEX] hoặc AB trùng [TEX]\Delta m[/TEX]
+ AB cắt [TEX]\Delta m[/TEX] $$\Rightarrow \frac{m-2}{3}\neq \frac{m-1}{-1}\Leftrightarrow 2-m\neq 3m-3\Leftrightarrow 4m-5\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{5}{4}$$
+ AB trùng [TEX]\Delta m[/TEX] $$\Rightarrow \frac{m-2}{3}=\frac{m-1}{-1}=\frac{2m-1}{-3}\Rightarrow m=\frac{5}{4}(không t/m)$$
Vậy $$m\neq \frac{5}{4}$$
b) Áp dụng công thức tính khoảng cách : $$d_{A,\Delta m}=\frac{2(m-2)+3(m-1)+2m-1}{\sqrt{(m-2)^2+(m-1)^2}}=\frac{7m-8}{\sqrt{2m^2-6m+5}}$$
Ta có: $$d^2=\frac{49m^2-112m+64}{2m^2-6m+5}=37-\frac{25m^2-110m+121}{2m^2-6m+5}=37-\frac{(5m-11)^2}{2(m-\frac{3}{2})^2+\frac{1}{2}}\leq 37$$ $$\Rightarrow d\leq \sqrt{37}$$
Dấu "=" xảy ra khi $$5m-11=0\Rightarrow m=\frac{11}{5}$$

Bạn giải thích cho mình sao đoạn d^2 lại chuyển sang biểu thức là 37-.... được không? Là tách hay như thế nào?

 

[7 1 2 5]

Bạn giải thích cho mình sao đoạn d^2 lại chuyển sang biểu thức là 37-.... được không? Là tách hay như thế nào?

Ở đây ta dự đoán max của d^2 là 37 nên lấy 37 trừ là xong thôi.

 

[Tinh Tinh]

a) Phương trình đường thẳng AB là: $$\frac{x-2}{1-2}=\frac{y-3}{0-3}\Rightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{3}\Rightarrow 3x-6=y-3\Rightarrow 3x-y-3=0$$
Để AB và [TEX]\Delta m[/TEX] có ít nhất 1 điểm chung thì AB cắt [TEX]\Delta m[/TEX] hoặc AB trùng [TEX]\Delta m[/TEX]
+ AB cắt [TEX]\Delta m[/TEX] $$\Rightarrow \frac{m-2}{3}\neq \frac{m-1}{-1}\Leftrightarrow 2-m\neq 3m-3\Leftrightarrow 4m-5\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{5}{4}$$
+ AB trùng [TEX]\Delta m[/TEX] $$\Rightarrow \frac{m-2}{3}=\frac{m-1}{-1}=\frac{2m-1}{-3}\Rightarrow m=\frac{5}{4}(không t/m)$$
Vậy $$m\neq \frac{5}{4}$$
b) Áp dụng công thức tính khoảng cách : $$d_{A,\Delta m}=\frac{2(m-2)+3(m-1)+2m-1}{\sqrt{(m-2)^2+(m-1)^2}}=\frac{7m-8}{\sqrt{2m^2-6m+5}}$$
Ta có: $$d^2=\frac{49m^2-112m+64}{2m^2-6m+5}=37-\frac{25m^2-110m+121}{2m^2-6m+5}=37-\frac{(5m-11)^2}{2(m-\frac{3}{2})^2+\frac{1}{2}}\leq 37$$ $$\Rightarrow d\leq \sqrt{37}$$
Dấu "=" xảy ra khi $$5m-11=0\Rightarrow m=\frac{11}{5}$$

Ý a của bài này là đoạn thẳng AB nha bạn không phải đường thẳng AB đâu tại nó cho tọa độ 2 điểm A, B ý. Sorry bạn nha mình ghi tắt chữ "đt"

 

[7 1 2 5]

Vậy thì mình sẽ tìm giao điểm của [TEX]\Delta m[/TEX] với AB rồi tìm điều kiện để điểm đó thuộc AB.
Gọi giao điểm của [TEX]\Delta m[/TEX] và đường thẳng AB là I.
Tọa độ của I là nghiệm của hệ:$$\left\{\begin{matrix} (m-2)x+(m-1)y+2m-1=0\\ 3x-y-3=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=3x-3\\ (m-2)x+(m-1)(3x-3)+2m-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=3x-3\\ x=\frac{m-2}{4m-5} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{m-2}{4m-5}\\ y=\frac{9-9m}{4m-5} \end{matrix}\right.$$
Điều kiện để I nằm trên AB là:$$\left\{\begin{matrix} 1\leq \frac{m-2}{4m-5}\leq 2\\ 0\leq \frac{9-9m}{4m-5}\leq 3 \end{matrix}\right.$$
Xét các trường hợp:
+ $$m> \frac{5}{4}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4m-5\leq m-2\leq 8m-10\\ 0\leq 9-9m\leq 12m-15 \end{matrix}\right.$$
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 7m-8\geq 0\geq 3m-3\\ 24-21m\leq 0\leq 9m-9 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m\geq \frac{8}{7}\\ m\leq 1\\ m\geq \frac{8}{7}\\ m\leq 1 \end{matrix}\right.(vô nghiệm)$$
+ $$m< \frac{5}{4}$$ $$\Rightarrow \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4m-5\geq m-2\geq 8m-10\\ 0\geq 9-9m\geq 12m-15 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3m-3\geq 0\geq 7m-8\\ 24-21m\geq 0\geq 9-9m \end{matrix}\right.\Rightarrow 1\leq m\leq \frac{8}{7}$$
Kết hợp điều kiện ta có kết quả là $$1\leq m< \frac{5}{4}$$

 

[Tinh Tinh]

Vậy thì mình sẽ tìm giao điểm của [TEX]\Delta m[/TEX] với AB rồi tìm điều kiện để điểm đó thuộc AB.
Gọi giao điểm của [TEX]\Delta m[/TEX] và đường thẳng AB là I.
Tọa độ của I là nghiệm của hệ:$$\left\{\begin{matrix} (m-2)x+(m-1)y+2m-1=0\\ 3x-y-3=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=3x-3\\ (m-2)x+(m-1)(3x-3)+2m-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=3x-3\\ x=\frac{m-2}{4m-5} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{m-2}{4m-5}\\ y=\frac{9-9m}{4m-5} \end{matrix}\right.$$
Điều kiện để I nằm trên AB là:$$\left\{\begin{matrix} 1\leq \frac{m-2}{4m-5}\leq 2\\ 0\leq \frac{9-9m}{4m-5}\leq 3 \end{matrix}\right.$$
Xét các trường hợp:
+ $$m> \frac{5}{4}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4m-5\leq m-2\leq 8m-10\\ 0\leq 9-9m\leq 12m-15 \end{matrix}\right.$$
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 7m-8\geq 0\geq 3m-3\\ 24-21m\leq 0\leq 9m-9 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m\geq \frac{8}{7}\\ m\leq 1\\ m\geq \frac{8}{7}\\ m\leq 1 \end{matrix}\right.(vô nghiệm)$$
+ $$m< \frac{5}{4}$$ $$\Rightarrow \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4m-5\geq m-2\geq 8m-10\\ 0\geq 9-9m\geq 12m-15 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3m-3\geq 0\geq 7m-8\\ 24-21m\geq 0\geq 9-9m \end{matrix}\right.\Rightarrow 1\leq m\leq \frac{8}{7}$$
Kết hợp điều kiện ta có kết quả là $$1\leq m< \frac{5}{4}$$

Cảm ơn bạn nha nhưng mình nghĩ kết hợp điều kiện thì phải là 1<= m<=8/7 chứ nhỉ?