Gọi [tex]P[/tex] là trung điểm của [tex]MN[/tex]
Ta có: tam giác [tex]BMN[/tex] cân tại [tex]B[/tex] (vì [tex]BM = BN[/tex]) và [tex]\widehat{MBN} = {60^0}[/tex] nên tam giác [tex]BMN[/tex] đều
Khi đó [tex]G[/tex] là trọng tâm cũng là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác [tex]BMN[/tex] đều
Ta tính được [tex]\widehat{GNB} = {30^0}[/tex], [tex]\widehat{GNP} = {30^0}[/tex], [tex]\widehat{NGP} = {60^0}[/tex] và [tex]\widehat{HGN} = {60^0}[/tex]
Tam giác [tex]ANM[/tex] có: [tex]I[/tex] và [tex]P[/tex] lần lượt là trung điểm của [tex]AN[/tex] và [tex]MN[/tex]
Nên [tex]IP[/tex] là đường trung bình của tam giác [tex]ANM[/tex]
[tex]\to PI\parallel AM[/tex] hay [tex]PI\parallel AB \to \widehat{MPI} = \widehat{BMN} = {60^0}[/tex]
Kéo dài [tex]MG[/tex] cắt [tex]BC[/tex] tại [tex]H[/tex], ta có [tex]\widehat{GHN} = {90^0}[/tex]
Khi đó:
[tex]\widehat{GNC} = \widehat{GHN} + \widehat{HGN} = {90^0} + {60^0} = {150^0}[/tex] (góc ngoài của tam giác [tex]GHN[/latex])
[tex]\widehat{GPI} = \widehat{GPM} + \widehat{MPI} = {90^0} + {60^0} = {150^0}[/tex]
Nên [tex]\widehat{GNC} = \widehat{GPI}[/tex]
Ta có:[tex]BA = BC;BM = BN \to AM = CN[/tex].
Mà [tex]AM = 2PI[/tex] (vì [tex]PI[/tex] là đường trung bình của tam giác [tex]ANM[/tex]) nên [tex]CN = 2PI \to \frac{{PI}}{{CN}} = \frac{1}{2}[/tex]
Lại có: [tex]\frac{{GP}}{{GN}} = \sin \widehat{GNP} = \sin {30^0} = \frac{1}{2}[/tex]
Do đó: [tex]\frac{{PI}}{{CN}} = \frac{{GP}}{{GN}}[/tex]
Xét tam giác [tex]GPI[/tex] và tam giác [latex]GNC[/tex], ta có:
[tex]\left\{ \begin{array}{l}\widehat{GPI} = \widehat{GNC} \\ \frac{{PI}}{{CN}} = \frac{{GP}}{{GN}} \\ \end{array} \right.[/tex]
Suy ra [tex]\Delta GPI \sim \Delta GNC[/tex] [tex] \to \widehat{IGP} = \widehat{CGN}[/tex]
Khi đó: [tex]\widehat{IGC} = \widehat{IGP} + \widehat{PGC} = \widehat{CGN} + \widehat{PGC} = \widehat{PGN} = {60^0}[/tex]
Ta có: [tex]\Delta GPI \sim \Delta GNC \to \frac{{IG}}{{GC}} = \frac{{GP}}{{GN}} = \frac{1}{2}[/tex]
Gọi [tex]T[/tex] là trung điểm của [tex]GC[/tex] thì [latex]IG = GT\left( { = \frac{1}{2}GC} \right)[/tex].
Mà [tex]\widehat{IGT} = \widehat{IGC} = {60^0}[/tex] nên tam giác [tex]IGT[/tex] đều
[tex]\to IT = \frac{1}{2}GC\left( { = IG = GT} \right)[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn