Giúp mình mấy bài bất đẳng thức này với

[congchuakhoc2008]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho x,y,z>0. CMR:
[TEX] \frac{2\sqrt[]{x}}{y^3+x^2}+\frac{2\sqrt[]{y}}{z^3+y^2}+\frac{2\sqrt[]{z}}{x^3+z^2}\leq\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} [/TEX]
2/ Cho a,b,c>0 thỏa abc=1. CMR:
[TEX] \frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\leq\frac{1}{2} [/TEX]
3/ Cho a,b,c>0 thỏa [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq\frac{3\sqrt[]{3}}{2}[/TEX]
4/ Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=3. CMR:
[TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}[/TEX]
5/Cho x,y.0 và x+y=1. CMR:
[TEX]P= \frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}\geq 4+2\sqrt[]{3}[/TEX]
6/ Cho [TEX] a+b+c=\frac{3}{2}[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\geq\frac{3}{4}[/TEX]

 

[drmssi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu:3
Ta có:
[TEX]\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/TEX]
Tương tự ta có:[TEX]\frac{b}{1+c^2}\geq b-\frac{bc}{2},\frac{c}{1+a^2}\geq c-\frac{ac}{2}[/TEX]
Cộng vế theo vế:[TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq a+b+c -\frac{ab+bc+ac}{2}=3-\frac{ab+bc+ac}{2}[/TEX]
Ta c/m: [TEX]ab+ac+bc\leq 3[/TEX]
Thật vậy: [TEX]ab+ac+bc\leq\frac{(a+b+c)^2}{3}=3[/TEX]
Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=1[/TEX]

 

[nguyenbahiep1]

4/ Cho a,b,c>0 thỏa [TEX]a+b+c=3[/TEX]. CMR:
[laTEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2} \ge \frac{3}{2}[/laTEX]

[laTEX]\frac{a}{1+b^2} = a- \frac{ab^2}{1+b^2} \geq a - \frac{ab}{2} \\ \\ VT \geq (a+b+c) - \frac{1}{2}(ab+bc+ac) \geq 3 - \frac{(a+b+c)^2}{2.3} = \frac{3}{2} \\ \\ a =b = c = 1[/laTEX]

 

[harrypham]

2) Xem tại đây.
1) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
Mình nghĩ đề đúng nên là [TEX]\sum \frac{ 2 \sqrt x}{x^3+y^2} \le \sum \frac{1}{x^2}[/TEX].
[TEX]\frac{x}{x^3}+ \frac{1}{y^2} \ge \frac{( \sqrt x+1)^2}{x^3+y^2} \ge \frac{4 \sqrt x}{x^3+y^2}[/TEX]
Tương tự [TEX]\frac{y}{y^3}+ \frac{1}{z^2} \ge \frac{4 \sqrt y}{y^3+z^2}[/TEX] và [TEX]\frac{z}{z^3}+ \frac{1}{x^2} \ge \frac{4 \sqrt z}{z^2+x^2}[/TEX].
Cộng lại ta có [TEX]\frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} \ge \frac{2 \sqrt x}{x^3+y^2}+ \frac{2 \sqrt y}{y^3+z^2}+ \frac{2 \sqrt z}{z^3+x^2}[/TEX].
Dấu đẳng thức xảy ra khi [TEX]x=y=z[/TEX].

 

[harrypham]

6/ Cho [TEX] a+b+c=\frac{3}{2}[/TEX]. CMR:
[TEX]P=\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\geq\frac{3}{4}[/TEX]

Lời giải. Ta có [TEX]\frac{a^2}{a+2b^2}=a- \frac{2ab^2}{a+2b^2} \ge a- \frac{2ab^2}{2b \sqrt{2a}}= a- \frac{ \sqrt ab}{\sqrt 2}[/TEX]
Áp dụng BĐT Cauchy thì [TEX]\frac{ab}{2}+ \frac{b}{4} \ge \frac{ \sqrt ab}{ \sqrt 2}[/TEX]. Do đó [TEX]\frac{a^2}{a+b^2} \ge a- \frac{ab}{2}- \frac{b}{4}[/TEX].
Làm tương tự rồi cộng lại ta được [TEX]P \ge \frac 34 (a+b+c)- \frac{ab+bc+ca}{2} \ge \frac 34[/TEX].
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [TEX]a=b=c= \frac 12[/TEX].

 

[vodichhocmai]

[TEX] \frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1} 5/Cho x,y.0 và x+y=1. CMR: [TEX]P= \frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}\geq 4+2\sqrt[]{3}[/TEX]
[/TEX]

Còn hai bài giúp bạn 1 vé luôn :

Chú ý bài

[TEX]\sum_{cyclic}^{abc=1} \frac{1}{a+ab+1}=1[/TEX]

Bài cuối thì :

[TEX]\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy} =\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{3}{3xy}\ge \frac{(1+\sqrt{3})^2}{x^3+y^3+3xy}=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{1} [/TEX]

 

[conga222222]

nốt câu 3 cho trọn bộ :

$\eqalign{
& S = {a \over {{b^2} + {c^2}}} + {b \over {{a^2} + {c^2}}} + {c \over {{a^2} + {b^2}}} \cr
& \cos i: \cr
& {a \over {{b^2} + {c^2}}} = {{a\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \over {{b^2} + {c^2}}} = {{{a^3}} \over {{b^2} + {c^2}}} + a = {{{a^3}} \over {{b^2} + {c^2}}} + a\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = {{{a^3}} \over {{b^2} + {c^2}}} + a\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + {a^3} \cr
& = \left( {{{{a^3}} \over {{b^2} + {c^2}}} + {{3a\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \over 4}} \right) + {{a\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \over 4} + {a^3} \ge \sqrt 3 {a^2} + {{a\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \over 4} + {a^3} \cr
& tuong\;tu\;cho\;2\;bieu\;thuc\;con\;lai \cr
& \to S = {a \over {{b^2} + {c^2}}} + {b \over {{a^2} + {c^2}}} + {c \over {{a^2} + {b^2}}} \ge \sqrt 3 + {{4\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + {a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + c{a^2}} \over 4} \cr
& ma\;cosi: \cr
& 4\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + {a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + c{a^2} = 3\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + b\left( {{b^2} + {a^2} + {c^2}} \right) + c\left( {{c^2} + {a^2} + {b^2}} \right) + a\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr
& = 3{a^3} + 3{b^3} + 3{c^3} + a + b + c \ge 2\sqrt 3 {a^3} + 2\sqrt 3 {b^2} + 2\sqrt 3 {c^2} = 2\sqrt 3 \cr
& \to S \ge {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr
& dau = \leftrightarrow a = b = c = {1 \over {\sqrt 3 }} \cr} $

 

[bengoc273]

bài cuối nhé ( vì mình thấy bài này dễ nhất)

\frac{a}{b}{a^2+b^2+c^2}{a+b+c+2a^2+2b^2+2c^2}
\ geq\frac{a}{b}{(a+b+c)^2}{a+b+c+2(a^2+b^2+c^2)}
\geq\frac{a}{b}{\frac{a}{b}{9}{4}}{\frac{a}{b}{3}{2}+\frac{a}{b}{2(a+b+c)^2}{3}}
=\frac{a}{b}{\frac{a}{b}{9}{4}}{\frac{a}{b}{3}{2}+\frac{a}{b}{2}{3}*\frac{a}{b}{9}{4}}
=\frac{a}{b}{3}{4}
không biết có đúng không nữa

 

[bengoc273]

bài cuối nhé ( vì mình thấy bài này dễ nhất)

[Tex]\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2[/tex]
[Tex]\geq\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+2(a^2+b^2+c^2)[/tex]
[Tex]\geq\frac{\frac{9}{4}}{\frac{3}{2}+\frac{2}{3}(a+b+c)^2[/tex]
=[Tex]\frac{\frac{9}{4}}{\frac{3}{2}+\frac{2}{3}\frac{9}{4}[/tex]
=[Tex]\frac{3}{4[/tex]
Dấu "=" xảy ra [Tex]\Leftrightarrow[/tex][Tex]a=b=c=\frac{1}{2}[/tex]
không biết có đúng không nữa

 

[bengoc273]

bài cuối nhé ( vì mình thấy bài này dễ nhất)

[Tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c+2a^2+2b^2+2c^2[/tex]
[Tex]\geq\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+2(a^2+b^2+c^2)[/tex]
[Tex]\geq\frac{\frac{9}{4}}{\frac{3}{2}+\frac{2}{3}(a+b+c)^2[/tex][Tex]=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{3}{2}+\frac{2}{3}\frac{9}{4}[/tex]
[Tex]=\frac{3}{4[/tex]
không biết có đúng không nữa

 

[gaduaxe]

Giải giúp mình bài này với

Tìm GTNN của hàm số [TEX]y=(sqrt{2}+1)^{2x}+(sqrt{2}-1)^{2x}-4[(sqrt{2}+1)^{2x}+(sqrt{2}-1)^{2x}][/TEX]

 

[congchuaanhsang]

Lời giải. Ta có [TEX]\frac{a^2}{a+2b^2}=a- \frac{2ab^2}{a+2b^2} \ge a- \frac{2ab^2}{2b \sqrt{2a}}= a- \frac{ \sqrt ab}{\sqrt 2}[/TEX]
Áp dụng BĐT Cauchy thì [TEX]\frac{ab}{2}+ \frac{b}{4} \ge \frac{ \sqrt ab}{ \sqrt 2}[/TEX]. Do đó [TEX]\frac{a^2}{a+b^2} \ge a- \frac{ab}{2}- \frac{b}{4}[/TEX].
Làm tương tự rồi cộng lại ta được [TEX]P \ge \frac 34 (a+b+c)- \frac{ab+bc+ca}{2} \ge \frac 34[/TEX].
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [TEX]a=b=c= \frac 12[/TEX].

Tham khảo 2 cách giải khác tại đây

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=2486515#post2486515