Giúp mình câu này với

[taekwondo_01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1. Giải hệ phương trình:
1. [tex]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2+2x+22}-\sqrt{y}=y^2+2y+1 \\ \sqrt{y^2+2y+22}-\sqrt{x}=x^2+2x+1 \end{array} \right.[/tex]
2. [tex]\left\{ \begin{array}{l} 3^{x^2+2}-9^{2y^2+1}=2(\sqrt{2y}-\sqrt{x}) \\ 3^{(x+y)}^2+2\sqrt{x+y}=29 \end{array} \right.[/tex]
Câu 2. Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn: xyz = 1
Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}[/tex][tex]+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}\leq\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]
Mong các bạn giải cụ thể hết mấy ý đáy cho mình với. Nhất là câu 2 ý. Mình xin cảm ơn

 

[newstarinsky]

câu 1

ĐK [TEX]x,y\geq 0[/TEX]

Trừ từng vế của 2 PT ta được

[TEX]\sqrt{x^2+2x+22}-\sqrt{y^2+2y+22}+\sqrt{x}-\sqrt{y}+(x+1)^2-(y+1)^2=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{(x+1)^2-(y+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+22}+\sqrt{y^2+2y+22}}+\frac {x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+(x-y)(x+y+2)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{(x-y)(x+y+2)}{\sqrt{x^2+2x+22}+\sqrt{y^2+2y+22}}+\fra{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+(x-y)(x+y+2)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+22}+\sqrt{y^2+2y+22}}+\fr{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+x+y+2)=0[/TEX]

vì [TEX]x,y\geq 0[/TEX] nên biểu thức trong ngoặc dương nên chỉ có nghiệm x=y

 

[hhhaivan]

Câu 1

Mình có cách khác, cũng nhanh:

[TEX]\left{\begin{\sqrt{x^2+2x+22} - \sqrt{y} = y^2 +2y+1\\{\sqrt{y^2+2y+22} - \sqrt{x} = x^2 +2x+1} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{\sqrt{x^2+2x+22} = \sqrt{y} +y^2 +2y+1\\{\sqrt{y^2+2y+22} = \sqrt{x} + x^2 +2x+1} [/TEX]

Xét hàm số đặc trưng trên [0:+\infty )

[TEX]( {Do} \ x,y \geq 0 \ )[/TEX]

[TEX]f(t)= \sqrt{t^2+2t+22}[/TEX]

[TEX]g(t) = \sqrt{t} +t^2 +2t+1[/TEX]

Khi đó hệ có dạng :
[TEX]\left{\begin{f(x)=g(y)}\\{f(y)=g(x)} [/TEX]

Ta có :
[TEX]f'(t) \geq 0 , \ g'(t) \geq 0 \Rightarrow [/TEX] Hai hàm đồng biến trên [0;+\infty)

Ta chứng minh hpt chỉ có nghiệm x=y.
Thật vậy:

[TEX]x>y \Rightarrow f(x) > f(y) \Rightarrow g(y) > g(x) \Rightarrow y>x \ (L)[/TEX]
[TEX]x<y \Rightarrow f(x) <f(y) \Rightarrow g(y)<g(x) \Rightarrow y<x \ (L)[/TEX]

Vậy pt chỉ có nghiệm x=y.

 

[duynhan1]

Dài, cộng lại nhanh hơn, 3 hệ phương trình mới làm như bạn phía trên:
Điều kiện: $x,\ y \ge 0$
Cộng 2 phương trình vế theo vế ta được: $$\sqrt{x^2+2x+22} + \sqrt{x} + x^2+2x = \sqrt{y^2+2y+22} + \sqrt{y} + y^2+2y \Leftrightarrow x = y$$
(Do hàm số $f(t) = \sqrt{t^2+2t+22} + \sqrt{t} +t^2+2t $ đồng biến trên nửa khoảng $[0;+\infty)$)


Câu 2: Bạn chú ý BĐT sau:
$$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \le \frac{2}{\sqrt{1+xy}} \quad \forall x, y \ge 0,\ xy \le 1$$


Câu 1.2:
Từ phương trình (1) ta thu được $x=2y$ do hàm số $f(t) = 3^{t^2+2} + 2 \sqrt{t}$ đồng biến trên nửa khoảng $[0; + \infty)$