Toán 11 Giới hạn

[Nguyễn Hương Trà]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: [tex]x_1=1;x_{n+1}=\frac{(2x_n+1)^{2012}}{2012}+x_n[/tex] với $n$ là số nguyên dương.
Đặt [tex]u_n=\frac{(2x_1+1)^{2011}}{2x_2+1}+\frac{(2x_2+1^{2011})}{2x_3+1}+...+\frac{(2x_n+1)^{2011}}{2x_{n+1}+1}[/tex]
Tìm lim$u_n$

@Aki-chan

 

[tieutukeke]

Dễ dàng chứng minh [tex]x_{n}[/tex] là dãy tăng [tex]\rightarrow limx_{n}=+[/tex]vô cùng
[tex]x_{n+1}=\frac{(2x_{n}+1)^{2012}}{2012}+x_{n}\rightarrow (2x_{n}+1)^{2011}=\frac{2012(x_{n+1}-x_{n})}{2x_{n}+1}[/tex]
[tex]\rightarrow \frac{u_{n}}{1006}=\frac{2(x_{2}-x_{1})}{(2x_{1}+1)(2x_{2}+1)}+\frac{2(x_{3}-x_{2})}{(2x_{2}+1)(2x_{3}+1)}+...+\frac{2(x_{n+1}-x_{n})}{(2x_{n+1}+1)(2x_{n}+1)}[/tex]
[tex]=\frac{1}{2x_{1}+1}-\frac{1}{2x_{2}+1}+\frac{1}{2x_{2}+1}-\frac{1}{2x_{3}+1}+...+\frac{1}{2x_{n}+1}-\frac{1}{2x_{n+1}+1}=\frac{1}{2x_{1}+1}-\frac{1}{2x_{n+1}+1}[/tex]
[tex]\rightarrow limu_{n}=\frac{1006}{3}[/tex]