Toán 11 giới hạn hữu hạn của dãy số

[thpthkprps]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Lý thuyết: Giới hạn của dãy số

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:

hay un → 0 khi n → +∞.
Định nghĩa 2
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu

Kí hiệu:

hay vn → a khi n → +∞.
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a)

với k nguyên dương;
b)

nếu |q| < 1;
c) Nếu un = c (c là hằng số) thì

Chú ý: Từ nay về sau thay cho

ta viết tắt là lim un = a.
II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1
a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì
lim (un + vn) = a + b
lim (un – vn) = a – b
lim (un.vn) = a.b

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa
- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.
- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.
Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.
Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;
b) lim qn = +∞ nếu q > 1.
3. Định lí 2
a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì

b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì

c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì