giúp mk chứng minh bài này vs ạ :
View attachment 154375
Tìm công thức tổng quát của $u_n$ là okie luôn
Từ công thức truy hồi của $u_n$ ta được:
[tex]2u_{n+2}=u_n+u_{n+1} \\ \Leftrightarrow 2\left ( u_{n+2}-u_{n+1} \right )=-\left ( u_{n+1}-u_{n} \right ) \ (1)[/tex]
Đặt [tex]v_n=u_{n+1}-u_n[/tex]
[tex]\Rightarrow v_1=u_2-u_1=b-a[/tex]
Thay vào $(1)$ ta được:
[tex]2v_{n+1}=-v_n\Leftrightarrow v_{n+1}=-\frac{1}{2}v_n[/tex]
Nên $(v_n)$ là dãy được xác định bởi: [tex]\left\{\begin{matrix} v_1=b-a\\ v_{n+1}=-\frac{1}{2}v_n \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow v_n=(b-a)\left ( \frac{-1}{2} \right )^{n-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow u_{n+1}-u_n=(b-a)\left ( \frac{-1}{2} \right )^{n-1}[/tex]
Nên:
[tex]u_2-u_1=b-a \\ u_3-u_2=(b-a)\left ( \frac{-1}{2} \right ) \\ u_4-u_3=(b-a)\left ( \frac{-1}{2} \right )^2 \\ ... \\ u_n-u_{n-1}=(b-a)\left ( \frac{-1}{2} \right )^{n-2}[/tex]
Cộng từng vế lại ta được:
[tex]u_n-u_1=(b-a)\left ( 1+\frac{-1}{2}+\left ( \frac{-1}{2} \right )^{2}+...+\left ( \frac{-1}{2} \right )^{n-2} \right ) \\ \Leftrightarrow u_n=a+(b-a).\frac{\left ( \frac{-1}{2} \right )^{n-2}-1}{\frac{-1}{2}-1}=a-\frac{2}{3}(b-a)\left [ \left ( \frac{-1}{2} \right )^{n-2}-1 \right ][/tex]
[tex]\Rightarrow \lim \ u_n=a-\frac{2}{3}(b-a)(0-1)=a+\frac{2}{3}(b-a)=\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b=\frac{a+2b}{3}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
