Toán 11 Giới hạn hàm số

[Sweetdream2202]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. kiến thức cơ bản

- cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K. ta nói nằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần đến a nếu với mọi dãy số [tex](x_n)[/tex], [tex]x\in K[/tex] và [tex]x_n\neq a[/tex] với mọi n nguyên dương mà [tex]lim(x_n)=a[/tex] đều có [tex]limf(x_n)=L[/tex]

kí hiệu: [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=L[/tex]

- một số định lý về giới hạn hàm số:

+ nếu hàm số có giới hạn bằng L thì đó là giới hạn duy nhất.

+ nếu [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=L[/tex] và [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}g(x)=M[/tex] thì:

• [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}[f(x)\pm g(x)]=\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)\pm \underset{x\rightarrow a}{lim}g(x)=L\pm M[/tex]
  
• [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}[f(x). g(x)]=\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x). \underset{x\rightarrow a}{lim}g(x)=L. M[/tex]
  
• [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)}{\underset{x\rightarrow a}{lim}g(x)}=\frac{L}{M}[/tex] với [tex]M\neq 0[/tex]
  
• [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)}=\sqrt{L}[/tex] với [tex]f(x)\geq 0;L\geq 0[/tex]

+ định lý kẹp: cho ba hàm số f(x), g(x) và h(x) xác định trên khoảng K sao cho [tex]g(x)\leq f(x)\leq h(x)[/tex] và [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow a}{lim}h(x)=L[/tex] thì ta cũng có [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=L[/tex]

- Trong định nghĩa hàm số, nếu với mọi dãy số [tex](x_n)[/tex], [tex]lim(x_n)=a[/tex] đều có [tex]lim[f(x_n)]=\propto[/tex] thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a. kí hiệu [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=\propto[/tex]
- Nếu với mọi dãy số [tex](x_n)[/tex], [tex]lim(x_n)=\propto[/tex] đều có [tex]lim[f(x_n)]=L[/tex] thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực. kí hiệu [tex]\underset{x\rightarrow \propto}{lim}f(x)=L[/tex]
- Trong định nghĩa giới hạn hàm số mà chỉ đòi hỏi với dãy số [tex](x_n)[/tex], mà [tex]x_n>a[/tex] với mọi N nguyên dương thì ta nói f(x) có giới hạn bên phải. kí hiệu [tex]\underset{x\rightarrow a^+}{lim}f(x)[/tex]
- Trong định nghĩa giới hạn hàm số mà chỉ đòi hỏi với dãy số [tex](x_n)[/tex], mà [tex]x_n<a[/tex] với mọi N nguyên dương thì ta nói f(x) có giới hạn bên trái. kí hiệu [tex]\underset{x\rightarrow a^-}{lim}f(x)[/tex]

2. phương pháp giải toán

a. giới hạn hàm số dạng [tex]\frac{f(x)}{g(x)}[/tex]: [tex]\frac{0}{0}[/tex]
- nếu cả tử và mẫu đều là đa thức thì có thể phân tích để xuất hiện nhân tử [tex](x-a)^n[/tex] rồi rút gọn.
- nếu có biểu thức chứa căn thì nhân với biểu thức liên hợp.

b. giới hạn hàm số dạng [tex]\frac{f(x)}{g(x)}[/tex]: [tex]\frac{\propto}{\propto}[/tex]
- chia cả tử và mẫu cho [tex]x^k[/tex], với k là mũ cao nhất của x. chú ý là nếu [tex]x\rightarrow +\propto[/tex] thì coi như x>0. nếu [tex]x\rightarrow -\propto[/tex] thì coi như x<0 và cần cẩn thận khi chia.
- dạng [tex]f(x).g(x)[/tex]: [tex]0.\propto[/tex] có thể quy về dạng [tex]\frac{\propto }{\propto }[/tex]

c. giới hạn hàm số dạng [tex](\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)})[/tex]: [tex]\propto -\propto[/tex]
- đưa về dạng [tex]\frac{f(x)-g(x)}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}}[/tex]

d. quy tắc L'hospital
- ở bậc THPT thì chưa đề cập đến quy tắc này. nhưng với bài toán trắc nghiệm thì các bạn học sinh có thể tìm hiểu thêm về quy tắc này để xử lý bài toán nhanh hơn và dễ hơn.
- quy tắc áp dụng cho dạng vô định.
- ta có: [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow a}{lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex]
- tham khảo thêm về quy tắc: https://diendan.hocmai.vn/threads/quy-tac-lhospital.739489/