Toán 11 giới hạn dãy số

[ln8941595@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số [imath]\lbrace{ u_n \rbrace}[/imath] xác định bởi [imath]u_1=2022,u_{n+1}=\dfrac{u_n}{n\cdot u_n^2+1} \forall n=1,2,...[/imath] Chứng minh rằng dãy [imath]\lbrace{ \dfrac{1}{nu_n} \rbrace}[/imath] có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Mọi người giúp em bài này ạ

 

[7 1 2 5]

Đặt [imath]\dfrac{1}{u_n}=x_n \forall n=1,2,...[/imath] thì [imath]x_1=2022,x_{n+1}=x_n+\dfrac{n}{x_n}[/imath]
Ta cần tìm [imath]\lim \dfrac{x_n}{n}[/imath]
Bằng quy nạp ta chứng minh được [imath]x_n \geq n \forall n=1,2,...[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{x_n}{n} \geq 1[/imath]
[imath]\Rightarrow x_{n+1}=x_n+\dfrac{n}{x_n} \leq x_n+1[/imath]
Tương tự [imath]x_n \leq x_{n-1}+1, x_{n-1} \leq x_{n-2}+1,...,x_2 \leq x_1+1[/imath]
Cộng vế theo vế ta được [imath]x_{n+1} \leq x_2+n-2 \Rightarrow x_n \leq x_2+n-3 \forall n=1,2,...[/imath]
Từ đó [imath]1 \leq \dfrac{x_n}{n} \leq 1+\dfrac{x_2-3}{n}[/imath]
Theo nguyên lí kẹp ta có [imath]\lim \dfrac{x_n}{n}=1[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Giới hạn dãy số