Toán 11 Giới hạn của dãy số

[Thảo_UwU]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số [imath](x_n)[/imath] được xác định bởi:[imath]\begin{cases} x_1 = 2020\\x_{n+1} = \dfrac{2018n+2}{2019n+2}(x_n + 1) \end{cases}[/imath] [imath]\forall n \in N^* [/imath]
CMR dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Các anh/chị vào giúp e với ạ.

 

[7 1 2 5]

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng [imath]x_n \geq 2018+\dfrac{2}{n} \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Thật vậy, nhận xét trên đúng với [imath]n=1[/imath]. Giả sử nhận xét đúng với [imath]n=k \geq 1[/imath].
Khi đó ta có [imath]x_k \geq 2018+\dfrac{2}{k}[/imath]
[imath]\Rightarrow x_{k+1} =\dfrac{2018k+2}{2019k+2}(x_k+1) \geq \dfrac{2018k+2}{2019k+2}\cdot \dfrac{2019k+2}{k}=\dfrac{2018k+2}{k}=2018+\dfrac{2}{k}>2018+\dfrac{2}{k+1}[/imath]
Vậy nhận xét đúng với [imath]n=k+1[/imath]. Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Từ nhận xét trên ta có [imath]\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{2018n+2}{2019n+2}\cdot \dfrac{x_n+1}{x_n} \leq 1 \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
[imath]\Rightarrow (x_n)[/imath] là dãy giảm.
Lại có [imath]x_n \geq 2018+\dfrac{2}{n} > 2018 \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath] nên [imath](x_n)[/imath] bị chặn dưới. Từ đó [imath](x_n)[/imath] có giới hạn hữu hạn.
Đặt [imath]\lim x_n=l \geq 2018[/imath] thì từ công thức truy hồi, cho [imath]n \to +\infty[/imath] và lấy giới hạn [imath]2[/imath] vế ta có:
[imath]l=\dfrac{2018}{2019}(l+1) \Leftrightarrow l=2018[/imath](thỏa mãn)
Vậy [imath]\lim x_n=2018[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé

Bài giảng Trường hè học sinh - giáo viên trường THPT chuyên 2022​

 

[Thảo_UwU]

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng [imath]x_n \geq 2018+\dfrac{2}{n} \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Thật vậy, nhận xét trên đúng với [imath]n=1[/imath]. Giả sử nhận xét đúng với [imath]n=k \geq 1[/imath].
Khi đó ta có [imath]x_k \geq 2018+\dfrac{2}{k}[/imath]
[imath]\Rightarrow x_{k+1} =\dfrac{2018k+2}{2019k+2}(x_k+1) \geq \dfrac{2018k+2}{2019k+2}\cdot \dfrac{2019k+2}{k}=\dfrac{2018k+2}{k}=2018+\dfrac{2}{k}>2018+\dfrac{2}{k+1}[/imath]
Vậy nhận xét đúng với [imath]n=k+1[/imath]. Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Từ nhận xét trên ta có [imath]\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{2018n+2}{2019n+2}\cdot \dfrac{x_n+1}{x_n} \leq 1 \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
[imath]\Rightarrow (x_n)[/imath] là dãy giảm.
Lại có [imath]x_n \geq 2018+\dfrac{2}{n} > 2018 \forall n \in \mathbb{N}^*[/imath] nên [imath](x_n)[/imath] bị chặn dưới. Từ đó [imath](x_n)[/imath] có giới hạn hữu hạn.
Đặt [imath]\lim x_n=l \geq 2018[/imath] thì từ công thức truy hồi, cho [imath]n \to +\infty[/imath] và lấy giới hạn [imath]2[/imath] vế ta có:
[imath]l=\dfrac{2018}{2019}(l+1) \Leftrightarrow l=2018[/imath](thỏa mãn)
Vậy [imath]\lim x_n=2018[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé

Bài giảng Trường hè học sinh - giáo viên trường THPT chuyên 2022​

7 1 2 5Anh ơi làm sao anh biết là [imath]x_n \ge 2018 + \dfrac{2}{n}[/imath] vậy ạ?

 

[7 1 2 5]

Anh ơi làm sao anh biết là [imath]x_n \ge 2018 + \dfrac{2}{n}[/imath] vậy ạ?

Thảo_UwUKinh nghiệm thông thường là vậy, nhưng không phải là khi nào cũng áp dụng được đâu nhé.
Ở đây nếu dùng phương trình giới hạn thì ta có [imath]\lim x_n=2018<2020=x_1[/imath], nên tư tưởng sẽ là chứng minh dãy giảm.
Nhìn vào hệ thức truy hồi thì ta có thể thử [imath]x_{n+1}-x_n<0[/imath] hoặc [imath]\dfrac{x_{n+1}}{x_n}<1[/imath], nhưng mà ở đây anh dùng [imath]\dfrac{x_{n+1}}{x_n}<1[/imath] nên biến đổi ngược thì cần chứng minh [imath]x_n \geq 2018+\dfrac{2}{n}[/imath] nhé.