Ta có phương trình đã cho tương đương với:$$\sqrt[3]{3x^2-3x+3}-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{x^3-(3x^2-3x+3)}{3}+(x-\frac{1}{2})^2}$$. Tới đây ta đặt: $y=\sqrt[3]{3x^2-3x+3}$ta có$$y-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{x^3-y^3}{3}+(x-\frac{1}{2})^2}$$Bình phương hai vế lên ta có$$(y-\frac{1}{2})^2=\frac{x^3-y^3}{3}+(x-\frac{1}{2})^2<=>x=y$$.
$$x=y \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{3x^2-3x+3} \Leftrightarrow x^3=3x^2-3x+3$$$$ \Leftrightarrow (x-1)^3=2\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}+1\mbox{(thỏa mãn)}$$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\sqrt[3]{2}+1$.
Ta có phương trình đã cho tương đương với:$$\sqrt[3]{3x^2-3x+3}-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{x^3-(3x^2-3x+3)}{3}+(x-\frac{1}{2})^2}$$. Tới đây ta đặt: $y=\sqrt[3]{3x^2-3x+3}$ta có$$y-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{x^3-y^3}{3}+(x-\frac{1}{2})^2}$$Bình phương hai vế lên ta có$$(y-\frac{1}{2})^2=\frac{x^3-y^3}{3}+(x-\frac{1}{2})^2<=>x=y$$.
$$x=y \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{3x^2-3x+3} \Leftrightarrow x^3=3x^2-3x+3$$$$ \Leftrightarrow (x-1)^3=2\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}+1\mbox{(thỏa mãn)}$$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\sqrt[3]{2}+1$.