Toán 12 Giải pt mũ logarit khác cơ số bằng cách đặt ẩn phụ

Thảo luận trong 'HS lũy thừa, mũ và lôgarit' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 31 Tháng năm 2019.

Lượt xem: 422

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    3,746
    Điểm thành tích:
    561
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Với các phương trình mũ logarit, việc đầu tiên ta thường nghĩ đến để giải là biến đổi đưa 2 vế về cùng cơ số. Tuy nhiên có nhiều bài phương trình lại không dễ, hoặc không thể biến đổi về cùng cơ số được. Khi đó cách đặt ẩn phụ là 1 trong số các cách thường xuyên sử dụng.

    Bài 1: Giải pt [tex]log_7(x+2)=log_5x[/tex]

    Giải: Vậy khi đặt ẩn phụ thì ta đặt như thế nào? Ở đây ta chọn cả 1 biểu thức log để đặt nhằm mục đích đưa về pt mũ. Và thường chọn log nào gọn hơn để đặt.

    Đặt [TEX]log_5x=t=>x=5^t[/TEX], phương trình trở thành:

    [tex]log_7(5^t+2)=t<=>5^t+2=7^t[/tex]

    Đến đây dễ thấy nghiệm đẹp t=1. Tuy nhiên nếu biến đổi:

    [tex]5^t-7^t=-2[/tex] thì nếu đặt VT=[TEX]5^t-7^t=f(t)[/TEX] và xét hàm [TEX]f(t)[/TEX] thì ta sẽ thấy nó

    không đơn điệu trên R. Do đó còn có thể có nghiệm khác.

    Nên ở đây ta phải biến đổi: [tex](\frac{5}{7})^t+2.(\frac{1}{7})^t=1[/tex] thì ta khảo sát hàm [TEX]f(t)=(\frac{5}{7})^t+2.(\frac{1}{7})^t[/TEX] sẽ thấy hàm NB trên R. Hay pt chỉ có nghiệm duy nhất t=1 .

    Bài 2: Giải phương trình:
    [tex]log_3(x^2+4x+1)=log_2(x^2+4x)[/tex]

    Giải: Điều kiện: [tex]\left\{\begin{matrix} x^2+4x+1>0\\ x^2+4x>0 \end{matrix}\right.[/tex]

    Đặt : [tex]log_2(x^2+4x)=t=>x^2+4x=2^t[/tex]

    Phương trình trở thành: [tex]2^t+1=3^t<=>(\frac{2}{3})^t+(\frac{1}{3})^t=1[/tex]

    Xét hàm : [TEX]f(t)=(\frac{2}{3})^t+(\frac{1}{3})^t[/TEX], hàm NB trên R nên pt có nghiệm duy nhất t=1
    <=>[tex]x^2+4x=2<=>x=-2+\sqrt{6};x=-2-\sqrt{6}[/tex]

    Cả 2 nghiệm đều thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy pt có 2 nghiệm.

    Bài 3: Giải phương trình:
    [tex]2log_6(\sqrt{x}+\sqrt[4]{x})=log_4x[/tex]

    Giải: ĐKXĐ: x>0

    PT<=>[tex]log_6(\sqrt{x}+\sqrt[4]{x})=log_4\sqrt{x}[/tex]

    Đặt [TEX]log_4\sqrt{x}=t=>\sqrt{x}=4^t[/TEX] và [TEX]\sqrt[4]{x}=2^t[/TEX]

    PT trở thành:
    [tex]log_6(4^t+2^t)=t<=>4^t+2^t=6^t<=>(\frac{2}{3})^t+(\frac{1}{3})^t=1[/tex]

    VT của PT NB nên PT có nghiệm duy nhất t=1

    => PT có nghiệm duy nhất x=16.

    Qua 1 số ví dụ trên chắc là các bạn đã biết cách giải quyết pt loga bằng cách đặt ẩn phụ. Đương nhiên là các bạn có thể nghĩ rằng nếu gặp phương trình đơn giản chỉ cần dùng tính năng solve nghiệm của casio, cho đến khi nào nó báo can't solve thì hết nghiệm. Tuy nhiên khi ra đề họ có thể gắn tham số m vào phương trình và yêu cầu tìm các điều kiện của tham số m. Nên nhìn chung ta cũng nên biết.
     
    Phuong2203, hip2608Nguyễn Hồng Lương thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->