giải phương trình

H

hoanghondo94

giải phương trình
[TEX](6x-5)\sqrt{x+1}-(6x+2)\sqrt{x-1}+4\sqrt{x^2-1}=4x-3[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Giải pt vô tỉ thì cũng chỉ có vài cách thôi , bình phương không được thì đặt ẩn phụ , rồi đánh giá , rồi dùng độc chiêu để tách đưa về tích , bài này cũng thế , ta thấy có $\sqrt{x+1}$ , $\sqrt{x-1}$ , rồi lại có cả $ \sqrt{x^2-1}$ , thôi thì cứ đặt ẩn phụ bừa 2 cái đó xem nó ra cái gì nào :

Đặt $a=\sqrt{x+1},b=\sqrt{x-1}$ ,thì $ a^2-b^2=2\quad (1)$
Phương trình trở thành : $$\frac{a^2+11b^2}{2}a-(4a^2+2b^2)b+4ab=\frac{a^2+7b^2}{2}$$ $$\Leftrightarrow a^3-8a^2b+11ab^2-4b^3=a^2-8ab+7b^2$$$$(a-b)(a^2-7a^2b+4b^2)=(a-b)(a-7b)$$$$\Leftrightarrow a^2-7ab+4b^2-a+7b=0\quad(2)$$

Đến đây thì trả về biến $x$ đi , nhưng trò đó thường quá ( tất nhiên đi thi nghĩ ra cái gì cũng là hay lắm rồi ) , thôi thì ở nhà , cứ làm cách này cho vui mắt :)

Lấy $(2)+2(1)$ ta được : $$3a^2-(7b+1)a+2b^2+7b-4=0$$
Gải phương trình này ta có :$a=2b-1$ hoặc $3a=b+4$
-Với $a=2b-1$ thu được $x= \frac{4}{9}(5+\sqrt{7})$
-Với $3a=b+4$ thu đươc $x=\frac{5}{4}$

Thật may mắn vì 2 cái ẩn phụ đó giúp ích được cho ta , giải ra nghiệm đẹp thế còn gì :)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : $x=\frac{4}{9}(5+\sqrt{7})$và $x= \frac{5} {4}$




Xong nhé , tớ cũng không rảnh để phân tích cho ai hiểu đâu nhưng cậu là bạn tốt của tớ , tớ sẽ phân tích tư duy bài này cho cậu xem ( có thể có ích đó )

Việc đầu tiên khi tiếp cận $1$ phương trình hay hệ phương trình là ta thử nhẩm xem phương trình hay hệ phương trình đó có nghiệm nào đặc biệt không? Đối với phương trình thì dùng máy tính và chức năng $Solve$ là phương pháp khá hiệu quả.

Với bài toán này ta có một nghiệm $x=\frac{5}{4}$ như vậy chắc chắn ta sẽ có một cặp nghiệm $(a; \ b)=\left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right.)$
Bằng kinh nghiệm nếu ta đặt $a=u+\frac{3}{2}; \ b=v+\frac{1}{2}$ ta luôn thu được hệ mới đơn giản hơn.

Vì vậy với trường hợp $2$ ta có thể giải tiếp bằng cách:
Xét hệ phương trình:$$\begin{cases}a^2-b^2=2\\a^2-7ab+4b^2-a+7b=0\end{cases}$$

Đặt: $a=u+\frac{3}{2}; \ b=v+\frac{1}{2}$ thay vào hệ và thu gọn ta được:$$\begin{cases}u^2-v^2+3u-v=0\\2u^2-14uv+8v^2-3u+v=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u^2-v^2=-3u+v\\2u^2-14uv+8v^2=3u-v\end{cases}$$

Đến đây về mặt phương pháp ta chia hai trường hợp:
TH 1: $v=0$ thay vào hệ xem có nghiệm hay không?
TH 2: $v\ne 0$ ta đặt $u=tv$ thay vào hệ, chia hai phương trình ta thu được$$\frac{t^2-1}{2t^2-14t+8}=\frac{-3t+1}{3t-1}$$

Thực tế với hệ này ta chỉ cần cộng hai phương trình là thu được kết quả!




Tớ sắp đi tu rồi , sẽ nhớ toán lắm đây :(( :(( , yêu phương trình và yêu tất cả mọi thứ bằng phẳng , yêu những điều mà dấu "=" xảy ra :(( :((

;
 
Last edited by a moderator:
L

leanhtuan93

cách của cậu hơi dài và lằng nhằng
tớ định dùng cách đặt[TEX]\sqrt{x-1}=a[/TEX] rồi từ đó đưa về phương trình bậc 2
giải ra và đc nghiệm rồi trả lại tên cho em thay a vào phương trình
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom