Toán 10 Giải phương trình: $\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}$

[Đỗ Minh Duy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. [imath]\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}[/imath]
2. [imath]\sqrt{x+x^2-1}+\sqrt{x-x^2+1}=x^2-x+2[/imath]


Giải giúp em câu 1,2 được ko ạ? Mong mọi người giúp em cảm ơn mọi người nhiều!!
______________________
Các bạn có thể tham khảo thêm kiến thức:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Phương trình vô tỷ
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Phương trình vô tỷ

 

[Tiểu Bạch Lang]

1. [tex]\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+12}-4)=(3x-6)+(\sqrt{x^2+5}-3)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+12}+4}=3(x-2)+\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+5}+3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}+3-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4})=0[/tex]
Từ đề bài suy ra [imath]3x-5>0 \Rightarrow x> \frac{5}{3}[/imath]

[imath]\Rightarrow \dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}+3-\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}>0[/imath]

[imath]\Rightarrow x=2[/imath] ( thỏa mãn)

Có gì thắc mắc thì bạn hỏi lại nhé!^^

 

[Đỗ Minh Duy]

1. [tex]\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+12}-4)=(3x-6)+(\sqrt{x^2+5}-3)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+12}+4}=3(x-2)+\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+5}+3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}+3-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4})=0[/tex]
Từ đề bài suy ra [TEX]3x-5\geq0 \Rightarrow x\geq \frac{5}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}+3-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=2[/TEX] ( thỏa mãn)
Có gì thắc mắc thì bạn hỏi lại nhé!^^

Ad giải cụ thể hơn được ko ạ. (với lại 3x-5 ở đâu thế ạ? , khi rút x+2 ra thì sẽ có vế còn lại, làm sao chứng minh vế đó vô nghiệm ạ?)

 

[Tiểu Bạch Lang]

Ad giải cụ thể hơn được ko ạ. (với lại 3x-5 ở đâu thế ạ? , khi rút x+2 ra thì sẽ có vế còn lại, làm sao chứng minh vế đó vô nghiệm ạ?)

Có [tex]\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2+5}=3x-5> 0\Rightarrow x>\frac{5}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow x+2>0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}< \frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+4}<\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}> 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}+3-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}> 0[/tex]

2. Điều kiện [TEX]x+x^2-1\geq0[/TEX];[TEX]x-x^2+1 \geq 0[/TEX] [TEX]\Rightarrow x>0 [/TEX]
Theo BĐT Bunhiacopxki:
[tex]\left ( \sqrt{x+x^2-1}+\sqrt{x-x^2+1} \right )^2\leq 2[(x+x^2-1)+(x-x^2+1)]=4x[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{x+x^2-1}+\sqrt{x-x^2+1}\leq 2\sqrt{x}\leq x+1[/tex] (BĐT Cauchy)
Dẫu bằng xảy ra khi x=1.
Lại có [TEX]x^2-2x+1\geq 0\Rightarrow x^2-x+2\geq x+1/TEX] Dẫu bằng xảy ra khi x=1. [tex]\Rightarrow[/tex] phương trình xảy ra khi x=1.
Vậy x=1 là nghiệm của phương trình

 

[Đỗ Minh Duy]

Cho em hỏi tại sao đk là x>0 mà không phải là x>=0 ạ

Cho em hỏi là em làm theo cách này đc ko và có đúng ko ạ? ( làm tới đây có đúng ko ạ, và phải làm tiếp như thế nào ạ)

 

[kido2006]

Cho em hỏi tại sao đk là x>0 mà không phải là x>=0 ạ

Nếu $x=0$ thì $x+x^2-1=-1 \ge 0 $(vô lí )

Cho em hỏi là em làm theo cách này đc ko và có đúng ko ạ? ( làm tới đây có đúng ko ạ, và phải làm tiếp như thế nào ạ)

Bài làm của bạn bị sai chỗ nhân liên hợp
Bạn phải xét trường hợp $\sqrt{x+x^2-1}-\sqrt{x-x^2+1}=0$ trước rồi mới nhân liên hợp được nhé

 

[Đỗ Minh Duy]

Nếu $x=0$ thì $x+x^2-1=-1 \ge 0 $(vô lí )


Bài làm của bạn bị sai chỗ nhân liên hợp
Bạn phải xét trường hợp $\sqrt{x+x^2-1}-\sqrt{x-x^2+1}=0$ trước rồi mới nhân liên hợp được nhé

Vậy phải làm tiếp như thế nào

 

[kido2006]

Vậy phải làm tiếp như thế nào

Thì bạn xét $\sqrt{x+x^2-1}-\sqrt{x-x^2+1}=0$
Rồi xét [tex]\sqrt{x+x^2-1}-\sqrt{x-x^2+1}\neq 0[/tex] mới làm tiếp cách của bạn được nhé (ở trường hợp này thì sẽ vô nghiệm)