giải phương trình nghiệm nguyên

[deat_stock]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1Tìm tất cả các bôj số nguyên m,n,p thoả mãn: m+n=3 và mn-2[TEX]p^2[/TEX]=m+n-1
2.giải phương trình nghiệm nguyên dương [TEX]x^2+y^2+z^2+xyz=20[/TEX]
3.giải phương trình nghiệm tự nhiên [TEX]2^x[/TEX]+1=[TEX]y^2[/TEX]

 

[eye_smile]

3.Ta có: ${2^x}+1={y^2}$
\Leftrightarrow ${2^x}={y^2}-1$
\Leftrightarrow ${2^x}=(y-1)(y+1)$
Đặt $y-1={2^{x_1}}$; $y+1={2^{x_2}}$ ( $x_1+x_2=x$; $x_1$ \geq 0; $x_2$ \geq 0; $x_2$ \geq $x_1$ ; $x_1$; $x_2$ thuộc N)
\Rightarrow $y+1-y+1={2^{x_2}}-{2^{x_1}}$
\Leftrightarrow $2={2^{x_2}}-{2^{x_1}}$
\Leftrightarrow $1={2^{x_2-1}}-{2^{x_1-1}}$
\Leftrightarrow $1+{2^{x_1-1}}={2^{x_2-1}}$ (*)
+/Nếu $x_2$ \geq $x_1$ > 2 thì ${2^{x_1-1}}$ và ${2^{x_2-1}}$ đều là số chẵn
\Rightarrow (*) vô lý
\Rightarrow $x_1$ thuộc tập hợp 0;1
Với $x_1=0$ \Rightarrow $1+{2^{0-1}}={2^{x_2-1}}$
\Rightarrow không tìm được $x_2$ thuộc N
Với $x_1=1$ \Rightarrow $1+{2^{1-1}}={2^{x_2-1}}$
\Leftrightarrow $x_2=2$
\Rightarrow $x=3$
Thay vào tìm được $y=3$
Vậy Phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(3;3)

 

[angleofdarkness]

3.Với x=0 thì ${y^2}=2$ (ktm)
Với x=1 thì ${y^2}=3$ (ktm)
Với x=2 thì ${y^2}=5$ (ktm)
Với x=3 thì ${y^2}=9$ suy ra y=3 (tm)
Với x \geq 4 thì VT chia 16 dư 3
Còn VP là bình phương của 1 số lẻ nên chia 16 dư 1 hoặc 9
------>Không thỏa mãn
Vậy Phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(3;3)

chỗ màu đỏ, vấn đề nan giải vì chính xác thì dư 0 chứ, nhưng suy cho cùng vẫn đúng vì VP chia 16 dư 1 hoặc 9.

Sửa chút xíu thế thôi.

 

[angleofdarkness]

2/

VP chia hết cho 2 nên VT cũng chia hết cho 2, như vậy trong các số $x^2,y^2,x^2,xyz$ phải có 2 số lẻ hoặc cả 4 số đều lẻ hoặc cả 4 số đều chẵn.

- Nếu có 2 số lẻ thì VT [TEX]\equiv[/TEX] 2 (mod 4), còn VP [TEX]\equiv[/TEX] 0 (mod 4) \Rightarrow loại.

- Nếu cả 4 số đều lẻ thì có 0 < $x^2$ < 20 \Rightarrow 0 < x \leq 3. x lẻ, x > 0 nên x = 1; 3.

Xét x = 1 thì có $y^2+z^2+yz=19.$ Tương tự có y = 1; 3. Từ đó ta tìm đc số thỏa mãn là y = 3; z = 2. (do z > 0)

Xét x = 3 thì có $y^2+z^2+3yz=11.$ Tương tự có cặp số thỏa mãn là y = 1; z = 2.

- Nếu cả 4 số đều chẵn.

Tương tự như T.h cả 4 số đều lẻ, ta tìm đc các nghiệm thỏa mãn bài là 1;2;3.

Vậy các cặp số (x; y; z) thỏa mãn đề là (1; 2; 3) và các hoán vị của nó.