Giải phương trình(dựa vào bdt côsi)

[trinhvy_123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a, [TEX]\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}= 3x^2-12x+14[/TEX]
b, [TEX]\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}= x^2-x+2[/TEX]
c, [TEX]\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}+\sqrt{z-5}=\frac{1}{2}(x+y+z)[/TEX]

 

[transformers123]

a/ $\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x} \le \dfrac{2x-3+1+5-2x+1}{2} = 2$
mà $3x^2-12x+14 = 3(x-2)^2+2 \ge 2$
suy ra: $\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x} \le 3x^2-12x+14$
dấu "=" xảy ra khi $x=2$
vậy $x=2$ là tập nghiệm của pt trên

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: Cách khác.

Áp dụng Cauchy-Schwarz: $(VT)^2 \le 2(2x-3+5-2x)=4$

$VP \ge 2$

Suy ra $2x-3=5-2x \rightarrow x=2$

Bài 2: $(VT)^2 \le 2(x^2+x-1-x^2+x+1)=4x$

$VP^2 - 4x = x^4-2x^3+5x^2-8x+4=x^2(x^2-2x+1)+4(x^2-2x+)=x^2(x-1)^2+4(x-1)^2 \ge 0$

Suy ra $x=1$

 

[quynhsieunhan]

Câu 2:
$\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{-x^2 + x + 1}$ \leq $\frac{x^2 + x - 1 + 1 - x^2 + x + 1 + 1}{2}$ \leq $x+ 1$
VP = $x^2 - x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + (x + 1) = (x - 1)^2 + x + 1$ \geq $x + 1$
\Rightarrow đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow VT = VP = x + 1
\Rightarrow x = 1

 

[trinhminh18]

c/ ta có: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}+\sqrt{z-5}$=$\dfrac{1}{2}(x+y+z)$
\Rightarrow2.$\sqrt{x-2}+2\sqrt{y-3}+2\sqrt{z-5}=x-2+y-3+z-5+10$
\Rightarrow$(\sqrt{x-2}-1)^2+(\sqrt{y-3}-1)^2+(\sqrt{z-5}-1)^2+7=0$ (Vô lí)
\Rightarrowpt vô no