- 20 Tháng chín 2013
- 5,014
- 7,479
- 941
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Bách Khoa TPHCM
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chào các bạn 
Không biết các bạn đã biết kỹ thuật này chưa, nhưng cái này là mình tự phát hiện ra nên cảm thấy rất là tự hào và muốn chia sẻ với mọi người 
Việc giải hệ 3 ẩn 2 phương trình này mình thường gặp nhiều trong các trường hợp:
VD1: Viết phương trình đường thẳng [imath]d[/imath] là giao tuyến của hai mặt phẳng [imath](\alpha) : 2x + y + 1 = 0[/imath] và [imath](\beta) : x - y + z - 1 = 0[/imath]
A. [imath]\begin{cases} x = t \\ y = -1 + 2t \\ z = -3t \end{cases}[/imath]
B. [imath]\begin{cases} x = t \\ y = -1 - 2t \\ z = 3t \end{cases}[/imath]
C. [imath]\begin{cases} x = t \\ y = -1 - 2t \\ z = -3t \end{cases}[/imath]
D. Kết quả khác
Ở đây ta thấy trong các đáp án, người ta đều đặt [imath]x = t[/imath] nên ta sẽ giải 2 ẩn [imath]y, z[/imath] theo [imath]x[/imath]. Biến đổi hệ phương trình như sau: [math]\left\{ \begin{aligned} 2x + y + 1 &= 0 \\ x - y + z - 1 &= 0 \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{array}{rccc} y & & &= -2x - 1 \\ -y &+& z &= - x + 1 \end{array} \right.[/math]
Tới đây ta ấn máy tính giải 2 hệ phương trình:
VD2: Trong không gian [imath]Oxyz[/imath], cho hai điểm [imath]A(-1, 1, 2)[/imath], [imath]B(1, 2, -1)[/imath]. Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng [imath]AB[/imath] và tạo với mặt phẳng [imath](\alpha) : x + 2y - 2z + 3 = 0[/imath] một góc nhỏ nhất là:
A. [imath]x + 4y + 2z - 7 = 0[/imath]
B. [imath]x + y + z - 2 = 0[/imath]
C. [imath]x - 5y - 3z + 12 = 0[/imath]
D. [imath]3x - 9y - z + 14 = 0[/imath]
Ý tưởng bài này là giờ mình sẽ đi viết phương trình mặt phẳng [imath](P)[/imath] chứa [imath]A[/imath] và [imath]B[/imath] theo một tham số [imath]m[/imath] nào đó, từ đó suy ra được véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng theo [imath]m[/imath] và quăng vào công thức tính góc giữa 2 véc-tơ, tìm GTNN!
Gọi mặt phẳng [imath](P) : ax + by + cz + d = 0[/imath]
[imath](P)[/imath] đi qua [imath]A(-1, 1, 2)[/imath] nên [imath]-a + b + 2c + d = 0[/imath] hay [imath]2c + d = a - b[/imath]
[imath](P)[/imath] đi qua [imath]B(1, 2, -1)[/imath] nên [imath]a + 2b - c + d = 0[/imath] hay [imath]-c + d = -a - 2b[/imath]
Bấm hệ:
[math]\begin{cases} 2c + d = 1 \\ -c + d = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} c = \dfrac23 \\ d = -\dfrac13 \end{cases} \\ \begin{cases} 2c + d = -1 \\ -c + d = -2 \end{cases} \implies \begin{cases} c = \dfrac13 \\ d = -\dfrac53 \end{cases}[/math]
Vậy [imath]\begin{cases} c = \dfrac23 a + \dfrac13 b = 2 + m \\ d = -\dfrac13 a - \dfrac53 b = -1 - 5m \end{cases}[/imath], chọn [imath]a = 3[/imath] và đặt [imath]b = 3m[/imath]
Vậy [imath](P) : 3x + 3my + (2 + m)z -1-5m = 0[/imath]
Tới đây là hết phần liên quan tới bài rồi, mình giải cho xong bài luôn nha
Từ đó có [imath]\vec{n_P} (3, 3m, 2 + m)[/imath]
Ngoài ra [imath]\vec{n_\alpha} (1, 2, -2)[/imath]
Từ đó [imath]\cos ((P), (\alpha)) = \dfrac{|-1 + 4m|}{\sqrt{9 + 9m^2 + (2 + m)^2} \cdot 3} = \dfrac13 \sqrt{\dfrac{16m^2 - 8m + 1}{10m^2 + 4m + 13}} = \dfrac13 \sqrt{f(x)}[/imath]
[imath]f'(x) = \dfrac{144m^2 + 396m - 108}{(10m^2 + 4m + 13)^2} = 0[/imath] có 2 nghiệm [imath]m = \dfrac14[/imath] và [imath]m = -3[/imath]
Từ đó lập BBT: [math]\begin{array}{c|ccccccc}x&-\infty&&-3&&\dfrac14&&+\infty\\ \hline y'&&+&0&-&0&+&\\ \hline &&&\dfrac{13}7&&&&\dfrac{8}5\\&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\y&\dfrac{8}5&&&&0&&\end{array}[/math]Vậy [imath]0 \leqslant \cos((P), (\alpha)) \leqslant \dfrac13 \sqrt{\dfrac{13}7}[/imath] nên dựa vào đường tròn lượng giác thì [imath]90^\circ \geqslant ((P), (\alpha)) \geqslant \arccos \dfrac13 \sqrt{\dfrac{13}7}[/imath]
Vậy góc tạo bởi [imath](P)[/imath] và [imath](\alpha)[/imath] nhỏ nhất khi [imath]f(x) = \dfrac{13}7[/imath] hay [imath]m = -3[/imath]
Khi đó [imath](P): 3x - 9y - z + 14 = 0[/imath]. Ta chọn đáp án D
Lời kết. Hy vọng qua bài viết này, bạn sẽ có cái nhìn khác về các tham số trong phương trình, hệ phương trình Hẹn gặp lại các bạn trong bài viết tới!
Không biết các bạn đã biết kỹ thuật này chưa, nhưng cái này là mình tự phát hiện ra nên cảm thấy rất là tự hào và muốn chia sẻ với mọi người Việc giải hệ 3 ẩn 2 phương trình này mình thường gặp nhiều trong các trường hợp:
- Giao 2 mặt phẳng và 1 mặt cầu
- Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm nào đó
- ...
VD1: Viết phương trình đường thẳng [imath]d[/imath] là giao tuyến của hai mặt phẳng [imath](\alpha) : 2x + y + 1 = 0[/imath] và [imath](\beta) : x - y + z - 1 = 0[/imath]
A. [imath]\begin{cases} x = t \\ y = -1 + 2t \\ z = -3t \end{cases}[/imath]
B. [imath]\begin{cases} x = t \\ y = -1 - 2t \\ z = 3t \end{cases}[/imath]
C. [imath]\begin{cases} x = t \\ y = -1 - 2t \\ z = -3t \end{cases}[/imath]
D. Kết quả khác
Ở đây ta thấy trong các đáp án, người ta đều đặt [imath]x = t[/imath] nên ta sẽ giải 2 ẩn [imath]y, z[/imath] theo [imath]x[/imath]. Biến đổi hệ phương trình như sau: [math]\left\{ \begin{aligned} 2x + y + 1 &= 0 \\ x - y + z - 1 &= 0 \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{array}{rccc} y & & &= -2x - 1 \\ -y &+& z &= - x + 1 \end{array} \right.[/math]
Tới đây ta ấn máy tính giải 2 hệ phương trình:
- Hệ phương trình đầu tiên, bên vế phải là hệ số trước [imath]x[/imath]: [math]\begin{cases} y = -2 \\ -y + z = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -2 \\ z = -3 \end{cases}[/math]Như vậy [imath]y = -2x + \ldots[/imath] và [imath]z = -3x + \ldots[/imath]
- Hệ phương trình thứ hai, bên vế phải là hệ số tự do: [math]\begin{cases} y = -1 \\ -y + z = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -1 \\ z = 0 \end{cases}[/math]Như vậy [imath]y = -2x - 1[/imath] và [imath]z = -3x[/imath]
VD2: Trong không gian [imath]Oxyz[/imath], cho hai điểm [imath]A(-1, 1, 2)[/imath], [imath]B(1, 2, -1)[/imath]. Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng [imath]AB[/imath] và tạo với mặt phẳng [imath](\alpha) : x + 2y - 2z + 3 = 0[/imath] một góc nhỏ nhất là:
A. [imath]x + 4y + 2z - 7 = 0[/imath]
B. [imath]x + y + z - 2 = 0[/imath]
C. [imath]x - 5y - 3z + 12 = 0[/imath]
D. [imath]3x - 9y - z + 14 = 0[/imath]
Ý tưởng bài này là giờ mình sẽ đi viết phương trình mặt phẳng [imath](P)[/imath] chứa [imath]A[/imath] và [imath]B[/imath] theo một tham số [imath]m[/imath] nào đó, từ đó suy ra được véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng theo [imath]m[/imath] và quăng vào công thức tính góc giữa 2 véc-tơ, tìm GTNN!
Gọi mặt phẳng [imath](P) : ax + by + cz + d = 0[/imath]
[imath](P)[/imath] đi qua [imath]A(-1, 1, 2)[/imath] nên [imath]-a + b + 2c + d = 0[/imath] hay [imath]2c + d = a - b[/imath]
[imath](P)[/imath] đi qua [imath]B(1, 2, -1)[/imath] nên [imath]a + 2b - c + d = 0[/imath] hay [imath]-c + d = -a - 2b[/imath]
Bấm hệ:
[math]\begin{cases} 2c + d = 1 \\ -c + d = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} c = \dfrac23 \\ d = -\dfrac13 \end{cases} \\ \begin{cases} 2c + d = -1 \\ -c + d = -2 \end{cases} \implies \begin{cases} c = \dfrac13 \\ d = -\dfrac53 \end{cases}[/math]
Vậy [imath]\begin{cases} c = \dfrac23 a + \dfrac13 b = 2 + m \\ d = -\dfrac13 a - \dfrac53 b = -1 - 5m \end{cases}[/imath], chọn [imath]a = 3[/imath] và đặt [imath]b = 3m[/imath]
Vậy [imath](P) : 3x + 3my + (2 + m)z -1-5m = 0[/imath]
Tới đây là hết phần liên quan tới bài rồi, mình giải cho xong bài luôn nha
Từ đó có [imath]\vec{n_P} (3, 3m, 2 + m)[/imath]
Ngoài ra [imath]\vec{n_\alpha} (1, 2, -2)[/imath]
Từ đó [imath]\cos ((P), (\alpha)) = \dfrac{|-1 + 4m|}{\sqrt{9 + 9m^2 + (2 + m)^2} \cdot 3} = \dfrac13 \sqrt{\dfrac{16m^2 - 8m + 1}{10m^2 + 4m + 13}} = \dfrac13 \sqrt{f(x)}[/imath]
[imath]f'(x) = \dfrac{144m^2 + 396m - 108}{(10m^2 + 4m + 13)^2} = 0[/imath] có 2 nghiệm [imath]m = \dfrac14[/imath] và [imath]m = -3[/imath]
Từ đó lập BBT: [math]\begin{array}{c|ccccccc}x&-\infty&&-3&&\dfrac14&&+\infty\\ \hline y'&&+&0&-&0&+&\\ \hline &&&\dfrac{13}7&&&&\dfrac{8}5\\&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\y&\dfrac{8}5&&&&0&&\end{array}[/math]Vậy [imath]0 \leqslant \cos((P), (\alpha)) \leqslant \dfrac13 \sqrt{\dfrac{13}7}[/imath] nên dựa vào đường tròn lượng giác thì [imath]90^\circ \geqslant ((P), (\alpha)) \geqslant \arccos \dfrac13 \sqrt{\dfrac{13}7}[/imath]
Vậy góc tạo bởi [imath](P)[/imath] và [imath](\alpha)[/imath] nhỏ nhất khi [imath]f(x) = \dfrac{13}7[/imath] hay [imath]m = -3[/imath]
Khi đó [imath](P): 3x - 9y - z + 14 = 0[/imath]. Ta chọn đáp án D
Lời kết. Hy vọng qua bài viết này, bạn sẽ có cái nhìn khác về các tham số trong phương trình, hệ phương trình
Hẹn gặp lại các bạn trong bài viết tới!
Last edited: