Bài làm của
vansang95:
Câu 1:
[TEX]\sqrt{2((x^2-x+\frac{1}{2})^2+x-\frac{1}{4})} \leq x^2 - 2x (*) [/TEX]
Ta có:
[TEX](x^2-x+\frac{1}{2})^2+x-\frac{1}{4}[/TEX]
[TEX]= (x^4+x^2+\frac{1}{4}-2x^3-x+x^2)+x-\frac{1}{4}[/TEX]
[TEX]=x^4-2x^3+2x^2[/TEX]
Vậy [TEX] (* ) \Leftrightarrow \sqrt{2(x^4-2x^3+2x^2)} \leq x^2 - 2x [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(x^4-2x^3+2x^2) \leq x^4 -4x^3+4x^2[/TEX]
và [TEX] x^2 - 2x \geq0[/TEX]
Thiếu điều kiện [TEX]\red x^4 - 2x^3 + 2x^2 \geq 0 [/TEX]mặc dù nó hiển nhiên nhưng phải nói 
\Leftrightarrow[TEX] x^4 \leq 0 [/TEX]
và [TEX] x^2 - 2x \geq0[/TEX]
-------------> x=0
Nghiệm cuả BPT đã cho là x=0
0,75 điểm
Câu 2:
Câu 3:
[TEX]x.\sqrt{1-y^2}= \frac{3}{4}[/TEX]
{
[TEX]y.\sqrt{1-x^2}=\frac{1}{4}[/TEX]
[TEX]DK: 0 \leq x;y \leq 1[/TEX]
Với dk trên BP 2 vế ta có
[TEX]x^2(1-y^2) = \frac{9}{16}[/TEX]
{
[TEX]y^2(1-x^2)= \frac{1}{16}[/TEX]
[TEX]x^2 - x^2y^2= \frac{9}{16} (1) [/TEX]
{
[TEX]y^2 - y^2x^2= \frac{1}{16} (2) [/TEX]
Từ (1)(2) [TEX] \Rightarrow x^2 - \frac{9}{16} = y^2 - \frac{1}{16} \Leftrightarrow x^2 = y^2 + \frac{1}{2} [/TEX]
Thay vào (2) ta có
[TEX]y^2 - y^2(y^2+\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} \Leftrightarrow y^2=\frac{1}{4} \Rightarrow x^2 = \frac{3}{4}[/TEX]
Đoạn này toàn dấu suy ra, em xem lại cách trình bày nhé
Kết hợp với dk ta dc nghiệm của
PT là [TEX](\frac{sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})[/TEX]
0,75 điểm
Câu 4:
~~[TEX] 2x^2 + \sqrt{2}x + 3y^2 + \sqrt{3}y+4=0[/TEX]
{
~~[TEX] (\sqrt{2}x+1)(\sqrt{3}+1)=5[/TEX]
~~[TEX] \sqrt{2}x(\sqrt{2}x+1) + \sqrt{3}x(\sqrt{3}x+1) +4 = 0 [/TEX]
{
~~[TEX] (\sqrt{2}x+1)(\sqrt{3}+1)=5[/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt{2}x+1=a ; \sqrt{3}+1=b[/TEX]
Hệ đã cho tương đương với:
~~[TEX] a(a - 1) + b(b - 1) + 4 = 0[/TEX]
{
~~[TEX] a.b=5[/TEX]
~~[TEX] a^2+b^2 - (a+b) - 6 = 0[/TEX]
{
~~[TEX] a.b=5[/TEX]
~~~~[TEX] a+b = 3[/TEX]
(1)
{
~~~~[TEX] a.b=5[/TEX]
VÀ: em chết với từ này rồi
~~~~[TEX] a+b = -2[/TEX]
(2){
[FONT="]
~~~~[TEX] a.b=5 [/TEX]
Cả (1)(2) vô nghiệm --> Hệ vô nghiệm
0,5 điểm ^^
Câu 6: [/FONT]
[TEX] tan{\frac{A}{2}}+\frac{1}{tan(\frac{A}{2})}+tan( \frac{B}{2}) +\frac{1}{tan(\frac{B}{2})}+tan{\frac{C}{2}}+\frac{1}{tan(\frac{C}{2})} [/TEX]
= [TEX]\frac{1}{sin(\frac{A}{2}).cos(\frac{A}{2})} + \frac{1}{sin(\frac{B}{2}).cos(\frac{B}{2})} + \frac{1}{sin(\frac{C}{2}).cos(\frac{C}{2})} [/TEX]
=[TEX]\frac{2}{sinA} + \frac{2}{sinB} + \frac{2}{sinC} \leq 4\sqrt{3}[/TEX]
Vậy BDT cần CM tương đương
[TEX] \Leftrightarrow \frac{1}{sinA} + \frac{1}{sinB} + \frac{1}{sinC} \leq 2\sqrt{3} (* )[/TEX]
Bây giờ ta sẽ CM rằng: [TEX] P=sinA+sinB+sinC \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]
Thật vậy ta có: [TEX] P+sin(\frac{\pi}{3}) = (sinA+sinB)+(sinC+sin(\frac{\pi}{3})) = 2(sin(\frac{A+B}{2}).cos(\frac{A-B}{2})+sin(\frac{C + \frac{pi}{3}}{2}).cos(\frac{C - \frac{pi}{3}}{2}))[/TEX]
[TEX] \leq 2(sin(\frac{A+B}{2}) + sin(\frac{C + \frac{pi}{3}}{2})) [/TEX] (Vì mỗi cái sin cos <=1)
[TEX]= 4(sin(\frac{A+B+C+\frac{pi}{3}}{4})+cos(\frac{A+B-C-\frac{pi}{3}}{4})[/TEX]
[TEX]\leq 4(sin(\frac{A+B+C+\frac{pi}{3}}{4}) = 4.sin{\frac{pi}{3} [/TEX] (Vì cái cos 1)
[TEX] \Rightarrow P \leq 3\frac{\sqrt{3}}{2}[/TEX]
Quay trở lại bài toán ta luôn có :
[TEX](\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{C})(sinA+sinB+sinC ) \geq 9 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{C} \geq \frac{9}{sinA+sinB+sinC} \geq \frac{9}{3\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3} [/TEX]
BT đã dc CM
1- điểm
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]Câu 8[/FONT][FONT="]
:
Để tam giác ABC đạt S max thì khoảng cách từ A đến (d) là lớn nhất
Gọi điểm A (a;b)
Thì ta có [tex] \frac{a^2}{8} + \frac{b^2}{4} = 1 [/tex]
[tex] \Leftrightarrow a^2 + 2b^2=8=\frac{1}{2}.(1^2 + 1^2)(a^2 + (-\sqrt{2}b)^2[/tex]
[/FONT]
[tex]\geq \frac{1}{2}( a-2b )^2 [/tex] (BCS)
Hay [FONT="]
[TEX]|a- \sqrt{2}b +2| \leq 6[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \frac{|a- \sqrt{2}b +2|}{\sqrt{3}} = d_(A;d)\leq\frac{6}{\sqrt{3} [/TEX]
Vậy [TEX] d_(A;d)[/TEX] đạt Max [TEX]= \frac{6}{\sqrt{3}}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra tại : [TEX]a^2 +2b^2=8[/TEX]
và [TEX] a+\sqrt{2}b=0[/TEX]
và [TEX] a-\sqrt{2}b=4[/TEX]
Dễ thấy điểm [TEX] A(2;-\sqrt{2})[/TEX] là điểm cần tìm
1 điểm
[/FONT]
[FONT="]Câu 9[/FONT][FONT="]
:
Trên tam giac ABC lấy các vec tơ đơn vị [tex] \vec{e_1} ; \vec{e_2} ; \vec{e_3}[/tex] sao cho [tex] \vec{e_1}[/tex] cung hướng với AB ; [tex] \vec{e_2}[/tex] cùng hướng với BC ; [tex] \vec{e_3}[/tex] cùng hướng với CA
Chắc chắn rằng: [tex] ({\vec{e_1} + \vec{e_2} + \vec{e_3})^2 \ge 0 [/tex]
[tex] \Leftrightarrow 3 + 2( cos(\vec{e_1;e_2}) + cos(\vec{e_2;e_3}) + cos(\vec{e_3;e_1}) \geq 0[/tex]
[tex] \Leftrightarrow 3 - 2( cosA + cosB + cosC) \geq 0 [/tex]
Hay [tex] cosA + cosB + cosC \geq \frac{3}{2}[/tex]
Ta có:
[tex] \frac{1}{1-cosA} + \frac{1}{1-cosB} + \frac{1}{1-cosC} [/tex]
[TEX] \geq \frac{9}{3-(cosA + cosB + cosC) [/TEX]
[TEX] \geq \frac{9}{3-\frac{3}{2}} = 6 [/TEX] (dpcm)[/FONT]
1 điểm
Gõ LATEX không tốt trừ 0,5 điểm bài làm
5 điểm - 0,5 điểm = 4,5 điểm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn