Giải các hệ phương trình sau

[dranh.club]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) $\left\{\begin{matrix} x+y+z=3 & & \\ x^2+y^2+z^2=9 & & \\ x^3+y^3+z^3=27 & & \end{matrix}\right.$
b) $\LARGE \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=2\\ y+\frac{1}{z}=2\\ z+\frac{1}{x}=2\\ \end{matrix}\right.$
c) $\left\{\begin{matrix} 3xy= &2(x+y) \\ 5yz=&6(y+z) \\ 4xz=&3(x+z) \end{matrix}\right.$

 

[san1201]

$$\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=2 (1)\\y+\frac{1}{z}=2 (2)\\ z+\frac{1}{x}=2 (3) \end{matrix}\right$$

Cộng (1) (2) (3) theo vế ta có:
$$ (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y})+(z+\frac{1}{z})=6 $$
Mặt khác: áp dụng Bđt cauchy ta có:
$$ [TEX]x+\frac{1}{x}[/TEX] $ $\geq 2 (4) $$
$$ [TEX]y+\frac{1}{y}[/TEX] $ $\geq 2 (5) $$
$$ [TEX]z+\frac{1}{z}[/TEX] $ $\geq 2 (6) $$
Cộng (4)(5)(6) theo vế ta có:
$$ [TEX](x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y})+(z+\frac{1}{z})[/TEX]$ $\geq6 $$
Vậy dấu = bđt xảy ra \Leftrightarrow $ x=\frac{1}{x} $;$ y=\frac{1}{y} $;$ z=\frac{1}{z} $
\Leftrightarrow $$ x=y=z=1 $$

 

[eye_smile]

a,Ta có:
${(x+y+z)^3}={x^3}+{y^3}+{z^3}+3(x+y)(y+z)(x+z)$
\Leftrightarrow $27=27+3(x+y)(y+z)(x+z)$
\Rightarrow $(x+y)(y+z)(x+z)=0$
+/TH1: x=-y
+/TH2: y=-z
+/TH3: z=-x
Tóm lại, hệ có nghiệm (x;y;z)=(3;0;0);(0;3;0);(0;0;3)