Giải bài tập toán HSG

[trungthinh.99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Có box tổng hợp toán HSG trên cả nước mới lập ở trên mà mình gửi bài họ không giải nên đành ra câu hỏi ở dưới này, mong các bạn giúp mình với:

I.1:
$A = \left(\frac{6x + 4}{3\sqrt{3x^3}-8} - \frac{\sqrt{3x}}{3x - 2\sqrt{3x}+4} \right) . \left(\frac{1 + 3\sqrt{3x^3}}{1 + \sqrt{3x}} - \sqrt{3x} \right)$



a) Rút gọn A (tìm ĐK)
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

I.2. Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:

$A = \frac{1}{x^3(y+z)} + \frac{1}{y^3(z+x)} + \frac{1}{z^3(x+y)}$

I.3. Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{c+1} + \frac{bc}{a+1} + \frac{ac}{b+1}$ \leq $\frac{1}{4}$

 

[demon311]

Chôm bài dễ làm trước:
I.3
Ta có:
$1=a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$

$\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{c+1}{16} \ge 2\dfrac{\sqrt{ab}}{4}=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}$
Tương tự ta suy ra:
$\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc}{a+1}+\dfrac{ac}{b+1} +\dfrac{a+b+c+3}{16} \ge$ $\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2} \ge \dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2} \ge \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc}{a+1}+\dfrac{ac}{b+1} \ge \dfrac{1}{2}-\dfrac{a+b+c+3}{16}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$
Dấu bằng xảy ra: $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
Là $\ge$ hay $\le$ nhở???

 

[demon311]

Chôm bài dễ làm trước:
I.3
Ta có:
$1=a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$

$\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{c+1}{16} \ge 2\dfrac{\sqrt{ab}}{4}=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}$
Tương tự ta suy ra:
$\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc}{a+1}+\dfrac{ac}{b+1} +\dfrac{a+b+c+3}{16} \ge$ $\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2} \ge \dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2} \ge \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc}{a+1}+\dfrac{ac}{b+1} \ge \dfrac{1}{2}-\dfrac{a+b+c+3}{16}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$
Dấu bằng xảy ra: $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
Là $\ge$ hay $\le$ nhở???

Mod xoá bài giùm với. Giải lộn tùng phèo gan với phổi rồi.....

 

[vipboycodon]

Có box tổng hợp toán HSG trên cả nước mới lập ở trên mà mình gửi bài họ không giải nên đành ra câu hỏi ở dưới này, mong các bạn giúp mình với:




I.2. Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:

$A = \frac{1}{x^3(y+z)} + \frac{1}{y^3(z+x)} + \frac{1}{z^3(x+y)}$
[/SIZE][/FONT]

Lần sau bạn nên ấn vào nút gửi câu hỏi nhé :
Có $xyz = 1$ => $x^2y^2z^2 = 1$
=> $A = \dfrac{x^2y^2z^2}{x^3(y+z)} + \dfrac{x^2y^2z^2}{y^3(z+x)} + \dfrac{x^2y^2z^2}{z^3(x+y)}$
= $\dfrac{y^2z^2}{x(y+z)}+\dfrac{x^2z^2}{y(z+x)}+ \dfrac{x^2y^2}{z(x+y)}$
Áp dụng bdt cauchy - schwarz :
$A \ge \dfrac{(yz+xz+xy)^2}{x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)} = \dfrac{(xy+yz+xz)^2}{2(xy+yz+xz)} = \dfrac{xy+yz+xz}{2}$
Mặt khác ta có : $xy+yz+xz \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} = 3$
Nên $A \ge \dfrac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = z = 1$.

 

[trungthinh.99]

Lần sau bạn nên ấn vào nút gửi câu hỏi nhé :
Có $xyz = 1$ => $x^2y^2z^2 = 1$
=> $A = \dfrac{x^2y^2z^2}{x^3(y+z)} + \dfrac{x^2y^2z^2}{y^3(z+x)} + \dfrac{x^2y^2z^2}{z^3(x+y)}$
= $\dfrac{y^2z^2}{x(y+z)}+\dfrac{x^2z^2}{y(z+x)}+ \dfrac{x^2y^2}{z(x+y)}$
Áp dụng bdt cauchy - schwarz :
$A \ge \dfrac{(yz+xz+xy)^2}{x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)} = \dfrac{(xy+yz+xz)^2}{2(xy+yz+xz)} = \dfrac{xy+yz+xz}{2}$
Mặt khác ta có : $xy+yz+xz \ge 3\sqrt{x^2y^2z^2} = 3$
Nên $A \ge \dfrac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = z = 1$.

Chỗ đoạn $xy+yz+xz \ge 3\sqrt{x^2y^2z^2} = 3$ sai rồi bạn ơi, BĐT Cô-si cho hai số không âm mới là căn bậc hai, còn như bạn nói trên là BĐT Cô-si cho ba số lận mà... Như thế này mới đúng chứ:

$xy+yz+xz \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} = 3$
Mình ghi thiếu bạn à.

 

[trungthinh.99]

Chỉ là sai cái BĐT cho ba số không âm thôi chứ còn $x^2y^2z^2$ vẫn bằng 1 do $xyz = 1$ mà. À mà cái bài I.1 rút gọn không cần giải nhé...