Toán 9 Giá trị nhỏ nhất

N

Nguyệt Dạ

Học sinh
Thành viên
1 Tháng chín 2018
38
41
21
Hà Nội
...
nguyendinhlemanh said:
cho x , y là các số thực dương thoã mãn [tex]$\sqrt{xy}(x-y)=x+y$[/tex] . Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = x+y
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
ĐK: x>y>0x > y > 0.
x+y=xy(x−y)⇔(x+y)2=xy(x−y)2⇔(x+y)2(xy−1)=4x2y2x+y=\sqrt{xy}(x-y)\Leftrightarrow (x+y)^2=xy(x-y)^2\Leftrightarrow (x+y)^2(xy-1)=4x^2y^2
⇒1(x+y)2=xy−14x2y2=14xy−14x2y2=116−(12xy−14)2⩽116\Rightarrow \dfrac1{(x+y)^2}=\dfrac{xy-1}{4x^2y^2}=\dfrac1{4xy}-\dfrac1{4x^2y^2}=\dfrac1{16}-(\dfrac1{2xy}-\dfrac14)^2 \leqslant \dfrac1{16}
⇒(x+y)2⩾16⇒Q=x+y⩾4\Rightarrow (x+y)^2 \geqslant 16\Rightarrow Q= x+y \geqslant 4
Dấu '=' xảy ra ⇔{x+y=4xy=2x>y⇔{x=2+2y=2−2\Leftrightarrow \begin{cases} x+y=4 \\ xy=2 \\ x>y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=2+\sqrt 2 \\ y=2-\sqrt 2 \end{cases}
 
  • Like
Reactions: nguyendinhlemanh, Phạm Thị Thuỳ Dung and Hoàng Vũ Nghị
You must log in or register to reply here.
Top Bottom