cho các số thực a,b,c thuộc [1;2].Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\frac{a+b}{c^2+4(ab+bc+ca)}
A anhemilye 23 Tháng ba 2014 #1 [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!! ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn. cho các số thực a,b,c thuộc [1;2].Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]P=\frac{a+b}{c^2+4(ab+bc+ca)}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!! ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn. cho các số thực a,b,c thuộc [1;2].Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]P=\frac{a+b}{c^2+4(ab+bc+ca)}[/tex]
V vuive_yeudoi 26 Tháng tư 2014 #2 Ta thấy $$ c^2+ 4 \left(ab+bc+ca \right) \le 4+4ab+8 \left( a+b \right) \le 4+8 \left( a+b\right)+ \left(a+b \right)^2=t^2+8t+4 $$ Với $ \displaystyle t=a+b \in \left[ 2;4\right] $. Lúc đó $$ P \ge \frac{t}{t^2+8t+4} = \frac{1}{13}-\frac{\left( t-1 \right) \left( t-4 \right)}{13 \left( t^2+8t+4\right)} \ge \frac{1}{13}$$ Tại $ \displaystyle a=b=c=2 $ thì $ \displaystyle P=\frac{1}{13} $. Vậy $$ \min \ P=\frac{1}{13} $$
Ta thấy $$ c^2+ 4 \left(ab+bc+ca \right) \le 4+4ab+8 \left( a+b \right) \le 4+8 \left( a+b\right)+ \left(a+b \right)^2=t^2+8t+4 $$ Với $ \displaystyle t=a+b \in \left[ 2;4\right] $. Lúc đó $$ P \ge \frac{t}{t^2+8t+4} = \frac{1}{13}-\frac{\left( t-1 \right) \left( t-4 \right)}{13 \left( t^2+8t+4\right)} \ge \frac{1}{13}$$ Tại $ \displaystyle a=b=c=2 $ thì $ \displaystyle P=\frac{1}{13} $. Vậy $$ \min \ P=\frac{1}{13} $$