giá trị lớn nhất

[ankhang1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b > 0 thỏa \[{a^4} + {b^4} + \frac{1}{{ab}} = ab + 2\]. Tìm GTLN của biểu thức
\[P = \frac{2}{{1 + {a^2}}} + \frac{2}{{1 + {b^2}}} - \frac{3}{{1 + 2ab}}\]

 

[hoanghainam2907]

Đúng tủ .



Giả thiết ,ta có:
x^4+y^4+1/(xy)=xy+2 \geq 2*x^2*y^2+1/(xy)
Đặt xy=t (t>0) ,ta được:
t+2 \geq 2t^2+1/t
\Leftrightarrow 2t^3-t^2-(2t-1) \leq 0
\Leftrightarrow (t-1)(t+1)(2t-1) \leq 0
\Leftrightarrow (t-1)(2t-1) \leq 0
\Leftrightarrow 1/2 \leq t \leq 1
Với x,y>0 và xy \leq 1 ,ta chứng minh được :
1/(1+x^2)+1/(1+y^2) \leq 2/(1+xy) (1)
Thật vậy : (1) \Leftrightarrow ((x-y)^2(xy-1))/((1+x^2)(1+y^2)(1+xy)) \leq 0(vì x,y>0 và xy \leq 1)
=> P \leq 4/(1+xy)-3/(1+2xy)=4/(1+t)-3/(1+2t)(2)
Xét hàm số f(t)=4/(1+t)-3/(1+2t) trên đoạn [1/2;1]
Ta có : f'(t)=-4/((1+t)^2)+6/((1+2t)^2)
=-2*(5t^2+2t-1)/((1+t)^2*(1+2t)^2)<0,\forall t thuộc [1/2;1]
=> f(t) \leq f(1/2)=7/6,\forall t thuộc [1/2;1] (3)
Từ (2) và (3) ta có:
P \leq 7/6
Dấu bằng xảy ra khi xy=1/2 và x=y <=> x=y=1/(căn 2)
Kết luận:........