- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. kiến thức cần nhớ
- để giải được bài toán, học sinh cần phải nắm rõ định nghĩa hàm mũ, hàm logarit.
- nhớ các công thức biến đổi hàm mũ, hàm logarit.
- nắm được các bất đẳng thức thường dùng.
2. ví dụ
ví dụ 1: cho 2 số thực x, y dương thỏa mãn: [tex]logx+logy+1\geq log(x+y)[/tex]
tìm GTNN của biểu thức [tex]S=x+3y[/tex]
giải:
biến đổi điều kiện của đề bài, ta có:
[tex]logx+logy+1\geq log(x+y)[/tex]
[tex]<=>logx+logy+log10\geq log(x+y)[/tex]
[tex]<=>log10xy\geq (x+y)[/tex]
[tex]<=>10xy\geq x+y[/tex]
[tex]=>y(10x-1)\geq x[/tex]
vì [tex]x> 0=>10x-1> 0[/tex]
vậy nên [tex]x> \frac{1}{10}=>y\geq \frac{x}{10x-1}[/tex]
suy ra [tex]S=x+y\geq x+\frac{x}{10x-1}[/tex]
khảo sát hàm số trên với [tex]x> \frac{1}{10}[/tex], ta tìm đc GTNN của S là [tex]\frac{2+\sqrt{3}}{5}[/tex]
ví dụ 2: cho 3 số thực [tex]a, b,c>1[/tex]. tìm GTNN của biểu thức [tex]S=log_abc+3log_bac+4log_cab[/tex]
giải:
ta đặt: [tex]\left\{\begin{matrix} x=log_abc=\frac{log_cbc}{log_ca}=\frac{1+log_cb}{log_ca}\\ y=log_bac=\frac{log_cac}{log_cb}=\frac{1+log_ca}{log_cb} \end{matrix}\right.[/tex]
ta suy ra: [tex]\left\{\begin{matrix} xlog_ca-log_cb=1\\ log_ca-ylog_cb=-1 \end{matrix}\right.[/tex]
suy ra [tex]xylog_ca-log_ca=y+1=>log_ca=\frac{y+1}{xy-1}[/tex]
tương tự, ta cũng tìm được: [tex]log_cb=\frac{x+1}{xy-1}[/tex]
thế vào biểu thức S, ta được: [tex]S=x+3y+4.\frac{x+y+2}{xy-1}[/tex]
xem y là tham số, ta xét hàm f(x), ta tìm được [tex]f(x)\geq f(\frac{2y+3}{y})\geq \frac{2y+3}{y}+3y+4.\frac{\frac{2y+3}{y}+y+2}{2y+2}[/tex]
tiếp tục tìm GTNN của hàm này, suy ra GTNN của S là [tex]4+6\sqrt{3}[/tex]
cách 2: ta phân tích S:
[tex]S=(log_ab+log_ac)+(3log_ba+log_bc)+4(log_ca+log_cb)[/tex]
[tex]=(log_ab+3log_ba)+(3log_bc+4log_cb)+(log_ac+4log_ca)[/tex]
[tex]\geq 2\sqrt{log_ab.3log_ba}+2\sqrt{3log_bc.4log_cb}+2\sqrt{log_ac.4log_ca}=4+6\sqrt{3}[/tex]
- để giải được bài toán, học sinh cần phải nắm rõ định nghĩa hàm mũ, hàm logarit.
- nhớ các công thức biến đổi hàm mũ, hàm logarit.
- nắm được các bất đẳng thức thường dùng.
2. ví dụ
ví dụ 1: cho 2 số thực x, y dương thỏa mãn: [tex]logx+logy+1\geq log(x+y)[/tex]
tìm GTNN của biểu thức [tex]S=x+3y[/tex]
giải:
biến đổi điều kiện của đề bài, ta có:
[tex]logx+logy+1\geq log(x+y)[/tex]
[tex]<=>logx+logy+log10\geq log(x+y)[/tex]
[tex]<=>log10xy\geq (x+y)[/tex]
[tex]<=>10xy\geq x+y[/tex]
[tex]=>y(10x-1)\geq x[/tex]
vì [tex]x> 0=>10x-1> 0[/tex]
vậy nên [tex]x> \frac{1}{10}=>y\geq \frac{x}{10x-1}[/tex]
suy ra [tex]S=x+y\geq x+\frac{x}{10x-1}[/tex]
khảo sát hàm số trên với [tex]x> \frac{1}{10}[/tex], ta tìm đc GTNN của S là [tex]\frac{2+\sqrt{3}}{5}[/tex]
ví dụ 2: cho 3 số thực [tex]a, b,c>1[/tex]. tìm GTNN của biểu thức [tex]S=log_abc+3log_bac+4log_cab[/tex]
giải:
ta đặt: [tex]\left\{\begin{matrix} x=log_abc=\frac{log_cbc}{log_ca}=\frac{1+log_cb}{log_ca}\\ y=log_bac=\frac{log_cac}{log_cb}=\frac{1+log_ca}{log_cb} \end{matrix}\right.[/tex]
ta suy ra: [tex]\left\{\begin{matrix} xlog_ca-log_cb=1\\ log_ca-ylog_cb=-1 \end{matrix}\right.[/tex]
suy ra [tex]xylog_ca-log_ca=y+1=>log_ca=\frac{y+1}{xy-1}[/tex]
tương tự, ta cũng tìm được: [tex]log_cb=\frac{x+1}{xy-1}[/tex]
thế vào biểu thức S, ta được: [tex]S=x+3y+4.\frac{x+y+2}{xy-1}[/tex]
xem y là tham số, ta xét hàm f(x), ta tìm được [tex]f(x)\geq f(\frac{2y+3}{y})\geq \frac{2y+3}{y}+3y+4.\frac{\frac{2y+3}{y}+y+2}{2y+2}[/tex]
tiếp tục tìm GTNN của hàm này, suy ra GTNN của S là [tex]4+6\sqrt{3}[/tex]
cách 2: ta phân tích S:
[tex]S=(log_ab+log_ac)+(3log_ba+log_bc)+4(log_ca+log_cb)[/tex]
[tex]=(log_ab+3log_ba)+(3log_bc+4log_cb)+(log_ac+4log_ca)[/tex]
[tex]\geq 2\sqrt{log_ab.3log_ba}+2\sqrt{3log_bc.4log_cb}+2\sqrt{log_ac.4log_ca}=4+6\sqrt{3}[/tex]
