Nhờ mn giúp câu này:
Tìm các giá trị nguyên dương n>=2 để hàm số (2-x)^n+(2+x)^n với x thuộc [-2;2] có giá trị lớn nhất gấp 8 lần giá trị nhỏ nhất
Nhìn đề bài sợ quá, đạo hàm phát:
$y = (2 - x)^n + (2 + x)^n$
$y' = -n(2 - x)^{n - 1} + n(2 + x)^{n - 1}$
$y' = 0 \iff (2 + x)^{n - 1} = (2 - x)^{n-1}$
Tới đây cho $y' = 0$ thì vướng cái mũ, chả biết chẵn hay lẻ mà giải nghiệm cộng trừ. Thôi thì chia TH cho chắc ăn:
TH1: $n$ chẵn, khi đó $n - 1$ lẻ. Vậy $y' = 0 \iff 2 +x = 2 - x \iff x = 0$
Như vậy thì do $x \in [-2 ; 2]$ nên 2 trong 3 thằng: $y(-2), y(0), y(2)$ sẽ là GTLN và GTNN của $y$. Thay vào thử: $y(-2) = 4^n = 2^{2n}$, $y(0) = 2^{n+1}$, $y(2) = 4^n = 2^{2n}$
Để ý rằng $n \geqslant 2$ nên $2n > n + 1$, vì vậy $2^{2n}$ là GTLN còn $2^{n+1}$ là GTNN.
ycbt $\iff 2^{2n} = 8 \cdot 2^{n+1}$
$\iff 2^{2n} = 2^{n + 4}$
$\iff 2n = n + 4$
$\iff n = 4$
Tới đây nhận vì $n$ chẵn và lớn hơn hoặc bằng $2$.
TH2: $n$ lẻ, khi đó $n - 1$ chẵn. Vậy $y' = 0 \iff \left[ \begin{array}{c} 2 + x = 2 - x \\ 2 + x = x - 2 \end{array} \right. \iff x = 0 \vee 2 = -2$ (hư cấu)
Với $x = 0$ thì y chang TH1 rồi, ta giải ra được $n = 4$ và loại nghiệm này vì không thỏa $n$ lẻ
Vậy qua 2TH, ta có $n = 4$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
