$\fbox{Toán 9}$ Tính tổng các căn thức

[transformers123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tình tổng:
$$\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{2012^2} + \dfrac{1}{2013^2}}$$

 

[viethoang1999]

Tình tổng:
$$\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{2012^2} + \dfrac{1}{2013^2}}$$

Ta chứng minh được đẳng thức sau:
Với $a+b+c=0$ thì $\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\left | \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right |$
Chỉ cần biến đổi tương đương và áp dụng giả thiết là cm được!

Áp dụng vào bài toán ta có:
$$A=\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{2012^2} + \dfrac{1}{2013^2}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{(-2)^2}}+...$$

OK!