H
huynhbachkhoa23
Giải hết cho đỡ tồn đọng.
Bài 25. Giả sử $a\ge b\ge c$. Áp dụng bất đẳng thức Minkovsky:
$ \sqrt{a^2+ab+b^2}+ \sqrt{b^2+bc+c^2}+ \sqrt{c^2+ca+a^2} = \sqrt{ \left(a+ \dfrac{b}{2} \right)^2+ \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}b \right)^2}+ \sqrt{ \left(b+\dfrac{c}{2} \right)^2+ \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}c \right)^2}+ \sqrt{ \left(a+\dfrac{c}{2} \right)^2+ \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}c \right)^2}\ge \sqrt{ \left(2a+\dfrac{3b}{2}+c \right)^2+\dfrac{3}{4} \left(b+2c \right)^2}$
Do đó ta cần chứng minh: $ \left(2a+\dfrac{3b}{2}+c \right)^2+\dfrac{3}{4} \left(b+2c \right)^2\ge 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)$ hay $(a-b)(b-c)\ge 0$ luôn đúng.
Bài 23. Đẳng thức xảy ra tại $a=0$ hoặc $a=b=c$ nên đánh giá thông thường sẽ vô dụng.
Có một phương pháp rất mạnh đảm bảo toàn bộ các điểm rơi, xử lý các bài dạng tổng hàm, đó là phản chứng.
Đặt $x=\dfrac{a}{\sqrt{4a^2+5bc}}, y=\dfrac{b}{\sqrt{4b^2+5ca}}$ và $z=\dfrac{c}{\sqrt{4c^2+5ab}}$ thì $0\le x,y,z\le \dfrac{1}{2}$
Chú ý rằng $(1-4x^2)(1-4y^2)(1-4z^2)=5^3x^2y^2z^2$, ta cần chứng minh $x+y+z\le 1$
Nếu $x+y+z>1$ thì $1-4x^2<(x+y+z)^2-4x^2=(y+z-x)(3x+y+z)$, tương tự ta có:
$1-4y^2<(z+x-y)(3y+z+x)$ và $1-4z^2<(x+y-z)(3z+x+y)$
Do đó ta có: $5^3x^2y^2z^2<\prod (y+z-x) . \prod (3x+y+z)$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ta: $\prod (3x+y+z)\le \dfrac{5^3(x+y+z)^3}{27}$
Do đó ta có $27x^2y^2z^2<(x+y+z)^3.\prod (y+z-x)$
Nhưng mặt khác, ta có $(x+y+z)^3.\prod (y+z-x)\le (x+y+z)^2\left[2(x^2y^2+y^2z^2z^2x^2)-x^4-y^4-z^4\right]\le \dfrac{9x^2y^2z^2}{x^2+y^2+z^2}.(x+y+z)^2\le 27x^2y^2z^2$
Điều này vô lý, do đó sẽ không có $x+y+z>1$ nên $x+y+z\le 1$
Bài 27. Bài này khó ở chỗ đánh giá dấu đẳng thức $a=2, b=c=\dfrac{1}{2}$ và các hoán vị.
Bài này thực chất dùng U.C.T, vì điểm rơi như trên nên giả sử $a\ge b\ge c$. Bất đẳng thức tương đương với:
$\dfrac{(2b-1)^2(16-5b)}{b}+\dfrac{(2c-1)^2(16-5c)}{c}\ge \dfrac{(a-2)^2(20a-4)}{a}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$\dfrac{(2b-1)^2(16-5b)}{b}+\dfrac{(2c-1)^2(16-5c)}{c}\ge \dfrac{4(a-2)^2}{\dfrac{b}{16-5b}+\dfrac{c}{16-5c}}$
Do đó ta cần chứng minh $\dfrac{(a-2)^2}{\dfrac{b}{16-5b}+\dfrac{c}{16-5c}}\ge \dfrac{(a-2)^2(5a-1)}{a}$
Ta có $\dfrac{b}{16-5b}+\dfrac{c}{16-5c}\le \dfrac{b+c}{16-5a}=\dfrac{3-a}{16-5a}$
Do đó ta cần chứng minh $\dfrac{16-5a}{3-a}\ge \dfrac{5a-1}{a}$ hay $\dfrac{3}{a(3-a)}\ge 0$ luôn đúng.
Vậy ta có điều cần chứng minh.