$\fbox{[Toán 8] Chuyên đề ôn BDT 8 version 2 }$

[riverflowsinyou1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hiiii ) , cuối cùng thì cũng đã đến hè. Lớn thêm 1 tuổi. Đầu to hơn 1 chút ) .
Sau đây BĐT version 2 xin được bắt đầu. Các BĐT cơ bản bạn xem ở TOPIC 1.
Cám ơn bác Sự và Khoa bê đê, bác Thu An , Tiếng rống trong đêm đã hợp tác cùng em )
Go go go )
Problem 1: Cho $x,y>0$ và $x+y \ge 5$ . Chứng minh $2x+3y+\frac{4}{x}+\frac{18}{y} \ge 21$
Problem 2 : Cho $x,y,z$ thỏa mãn $\sum x^2=3$ . TÌm Min,max của $E=x^3+y^3+z^3-3xyz$
Problem 3 : Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$ . Chứng tỏ $16xyz+x \le 1$
Lưu ý: Gõ latex đúng.
Khi đăng bài mới đừng đăng quá 3 bài .

 

[nangcuong7e]

Hiiii ) , cuối cùng thì cũng đã đến hè. Lớn thêm 1 tuổi. Đầu to hơn 1 chút ) .
Sau đây BĐT version 2 xin được bắt đầu. Các BĐT cơ bản bạn xem ở TOPIC 1.
Cám ơn bác Sự và Khoa bê đê, bác Thu An , Tiếng rống trong đêm đã hợp tác cùng em )
Go go go )
Problem 1: Cho $x,y>0$ và $x+y \ge 5$ . Chứng minh $2x+3y+\frac{4}{x}+\frac{18}{y} \ge 21$
Problem 2 : Cho $x,y,z$ thỏa mãn $\sum x^2=3$ . TÌm Min,max của $E=x^3+y^3+z^3-3xyz$
Problem 3 : Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$ . Chứng tỏ $16xyz+x \le 1$
Lưu ý: Gõ latex đúng.
Khi đăng bài mới đừng đăng quá 3 bài .

Xin quẩy bài dễ nhất
[TEX]\frac{4}{x} +x \geq 4[/TEX]
[TEX]\frac{18}{y} +2y \geq 12[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2x +3y +\frac{4}{x} +\frac{18}{y} =(\frac{4}{x} +x) +(\frac{18}{y} +2y) +(x+y) \geq 4 +12 +5 =21[/TEX]
Dấu [TEX]'='[/TEX] xảy ra khi [TEX]x =2; y=3[/TEX]

 

[huynhbachkhoa23]

Problem 2. Đặt $t=x+y+z$ thì $|t|\le 3$
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=t\left(3-\dfrac{t^2-3}{2}\right)$
Chú ngồi khảo sát nhé :v

 

[huynhbachkhoa23]

Problem 3.
$16xyz+x=x(16yz+1)\le x[4(1-x)^2+1]=(2x-1)^2(x-1)+1\le 1$

 

[huynhbachkhoa23]

Problem 4. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$a^3+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)\ge (a+b-2c)(a-b)^2$
Problem 5. Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2$. Chứng minh rằng: $a+b+c\le abc+2$
P/s. Cấm lục lại pic cũ =))

 

[riverflowsinyou1]

Em không biết giải :l
THôi chơi bài Schur được )
Problem 6 : Cho $a,b,c>0$. Chứng minh
$\sum \sqrt{\frac{(a+b)^3}{8ab(4a+4b+c)}} \ge 1$

 

[naol_cogn_iht_ah]

Klq nhưng cho xin ké tý ) mời các thím tung hứng :3
Problem 7: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x^2+8y^2+9z^2\leq 4xyz
Tìm min P= \frac{4x+2y^2+z^3}{\sqrt{6(36y-11\sqrt{2z})-11x}}

 

[huynhbachkhoa23]

Em không biết giải :l
THôi chơi bài Schur được )
Problem 6 : Cho $a,b,c>0$. Chứng minh
$\sum \sqrt{\frac{(a+b)^3}{8ab(4a+4b+c)}} \ge 1$

Một cách tự nhiên, ta áp dụng Holder như sau:
$\left[\sum \sqrt{\dfrac{(b+c)^3}{8bc(4b+4c+a)}}\right]^2.\left[\sum 8bc(4b+4c+a)\right]\ge 8(a+b+c)^3$
Vậy là ta cần chứng minh:
$8(a+b+c)^3\ge \sum 8bc(4b+4c+a)=\sum 8bc(4a+4b+4c-3a)=32(a+b+c)(ab+bc+ca)-72abc$ hay $(a+b+c)^3+9abc\ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$ luôn đúng theo Schur bậc 3.

 

[huynhbachkhoa23]

Klq nhưng cho xin ké tý ) mời các thím tung hứng :3
Problem 7: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^2+8y^2+9z^2\le 4xyz$
Tìm min $P= \dfrac{4x+2y^2+z^3}{\sqrt{6(36y-11\sqrt{2z})-11x}}$

Có điểm rơi $x=6, y=3, z=2$ giờ đặt $x=6a, y=3b, z=2c$ thì có điểm rơi $a=b=c=1$ => đẹp, mang tính thẩm mĩ
Theo giả thiết ta có $a^2+2b^2+c^2\le 4abc$ và $P=\dfrac{24a+18b^{2}+8c^{3}}{\sqrt{648b-66\left(a+2\sqrt{c} \right)}}$
Từ giả thiết suy ra $ac\ge 1$ và từ đây có $a+2\sqrt{c}\ge 3$ và $24a+8c^3=8(a+a+a+c^3)\ge 32$. Vậy là $P\ge \dfrac{18b^2+32}{\sqrt{648b-198}}$
Giờ thử AM-GM sao cho cái tử ra cái mẫy thử :v chả biết :v và hãy yên tâm là đã khảo sát và thấy nó đảm bảo điểm rơi.

 

[huynhbachkhoa23]

Problem 4. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$a^3+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)\ge (a+b-2c)(a-b)^2$
Problem 5. Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2$. Chứng minh rằng: $a+b+c\le abc+2$
P/s. Cấm lục lại pic cũ =))

Giải cho chú Quang.
Problem 4. Biến đổi tương đương ra $c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\ge 0$ luôn đúng.
Problem 5.
Nếu $a\le 0$ thì $2-b-c+a(bc-1)\ge 0$ do $2\ge b+c$ và $bc\le 1$
Nếu $0\le c\le b\le a\le 1$ thì $abc+2-a-b-c=(b-1)(c-1)+(bc-1)(a-1)\ge 0$
Nếu $0\le c\le b\le a$ và $a\ge 1$ thì $a+b+c\le \sqrt{2[a^2+(b+c)^2]}=2\sqrt{bc+1}\le bc+2\le abc+2$

 

[huynhbachkhoa23]

Problem 8. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$
Problem 9. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ thì ta luôn có:
$\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
P/s. Đề có đúng không nhỉ

 

[transformers123]

Problem 8. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$

Dirichlet |

 

[transformers123]

Problem 9. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ thì ta luôn có:
$\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$

$\dfrac{a^3}{a^2+b^2} =a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2} \ge a-\dfrac{ab^2}{2ab} =a-\dfrac{b}{2}$

Cmtt rồi cộng lại, ta có:

$\sum \dfrac{a^3}{a^2+b^2} \ge a+b+c-\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{2}-\dfrac{c}{2} =\dfrac{a+b+c}{2}$

 

[riverflowsinyou1]

Mấy bữa nay ôn thi ,mệt thật.... DÙ không ôn chữ nào )
Bài dễ vậy
Problem 10: Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh :
$\sum \frac{4a^3}{(1+b)(1+c)} \ge 3$

 

[transformers123]

Theo đề bài, ta có: $\sum a^2 \ge \sum a \ge \sum ab \ge 3abc = 3$

Ta có:

$\sum \dfrac{a^3}{(1+b)(1+c)} \ge \dfrac{(\sum a^2)^2}{a(1+b)(1+c)+b(1+c)(1+a)+c(1+a)(1+b)}$

$\iff \sum \dfrac{a^3}{(1+b)(1+c)} \ge \dfrac{(\sum a^2)^2}{(\sum a)+2(\sum ab) +3abc}$

$\iff \sum \dfrac{a^3}{(1+b)(1+c)} \ge \dfrac{(\sum a^2)^2}{4 \sum a^2}$

$\iff \sum \dfrac{a^3}{(1+b)(1+c)} \ge \dfrac{\sum a^2}{4}$

$\iff \sum \dfrac{a^3}{(1+b)(1+c)} \ge \dfrac{3}{4}$

Em chỉ làm được tới đây thôi, phần còn lại khó quá nên mấy bác giải hộ =)) )

 

[huynhbachkhoa23]

Dirichlet |

Xin đề xuất cách giải này. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$2abc+1=abc+abc+1\ge \dfrac{3abc}{\sqrt[3]{abc}}\ge \dfrac{9abc}{a+b+c}$
Do đó ta cần có $a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\ge 2(ab+bc+ca)$ đúng do đây là BDT Schur bậc 3.

 

[satthuphucthu]

Mấy bữa nay ôn thi ,mệt thật.... DÙ không ôn chữ nào )
Bài dễ vậy
Problem 10: Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh :
$\sum \frac{4a^3}{(1+b)(1+c)} \ge 3$

$\frac{4a^3}{(1+b)(1+c)} + \frac{b+1}{2} + \frac{c+1}{2}$ \geq 3a
CMTT \Leftrightarrow VT \geq 2(a+b+c)-3 \geq 3

 

[transformers123]

$\sum \frac{4a^3}{(1+b)(1+c)} + \frac{b+1}{2} + \frac{c+1}{2}$ \geq 3a
CMTT \Leftrightarrow VT \geq 2(a+b+c)-3 \geq 3

Phức tạp hóa vấn đề là nghề của anh =))

Vẫn đăng bài dễ như mọi khi =))

Problem 11: Cho $a, b, c$ là độ dài $3$ cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

$$\sqrt[3]{a+b-c}+\sqrt[3]{b+c-a}+\sqrt[3]{c+a-b} \le \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$$

 

[satthuphucthu]

Phức tạp hóa vấn đề là nghề của anh =))

Vẫn đăng bài dễ như mọi khi =))

Đặt $a+b-c=x$
$b+c-a=y$
$c+a-b=z$
\Leftrightarrow $\frac{x+y}{2}=b$ , $\frac{y+z}{2}=c$, $\frac{z+x}{2}=a$
Cần CM :$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} $ \leq $\sqrt[3]{\frac{x+y}{2}} + \sqrt[3]{\frac{y+z}{2}} + \sqrt[3]{\frac{z+x}{2}} $
Áp dụng $x+y$ \geq $ \frac{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} )^3 }{4} $
CMTT : Dễ r​

 

[transformers123]

Đặt $a+b-c=x$
$b+c-a=y$
$c+a-b=z$
\Leftrightarrow $\frac{x+y}{2}=b$ , $\frac{y+z}{2}=c$, $\frac{z+x}{2}=a$
Cần CM :$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} $ \leq $\sqrt[3]{\frac{x+y}{2}} + \sqrt[3]{\frac{y+z}{2}} + \sqrt[3]{\frac{z+x}{2}} $
Áp dụng $x+y$ \geq $ \frac{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} )^3 }{4} $
CMTT : Dễ r​

Tiếp =))

Problem 12: Cho $a, b, c, d > 0$. Chứng minh rằng:
$$(a+\dfrac{1}{a})(b+\dfrac{1}{b})(c+\dfrac{1}{c})(d+\dfrac{1}{d}) \ge (a+\dfrac{1}{b})(b+\dfrac{1}{c})(c+\dfrac{1}{d})(d+\dfrac{1}{a})$$