Toán 9 Đường tròn

[leminhanh010101]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Dây MN=R (M thuộc cung AN). Tia AM cắt BN tại K, AN cắt BM tại I
1. CM: KMIN là tứ giác nội tiếp
2. CM: KM.KA=KN.KB
3. Tính theo R độ dài đoạn thẳng IK
Mọi người giúp em câu 3 với ạ (

 

[iceghost]

Cách mình không được ngắn lắm...

Gọi $J$ là trung điểm $KI$. Ta có $JM, JN$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm $O$ (quen thuộc), chứng minh lại luôn:
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông thì $JM = \dfrac12 KI = JI$, suy ra $\triangle{JMI}$ cân tại $J$
Suy ra $\widehat{JMI} = \widehat{JIM} = 90^\circ - \widehat{IKM} = 90^\circ - \widehat{INM} = 90^\circ - \widehat{IBA} = 90^\circ - \widehat{OMB}$
Suy ra $\widehat{OMJ} = \widehat{JMI} + \widehat{OMB} = 90^\circ$ (tiếp tuyến đây nhé)
Xét $\triangle{JMO}$ và $\triangle{JNO}$, có $JM = JN (= \dfrac12 KI)$, $OM = ON (= R)$ và $JO$ chung
Suy ra $\triangle{JMO} = \triangle{JNO}$, suy ra $\widehat{JNO} = \widehat{JMO} = 90^\circ$ (xong phần tiếp tuyến)
Từ đó suy ra $JMNO$ nt, suy ra $\widehat{MJO} = \widehat{MNO} = 60^\circ$ (do $\triangle{MNO}$ đều, $MN = OM = ON = R$)
Từ đây ta có $KI = 2JM =2 \cdot OM \cot 60^\circ = \dfrac{2R\sqrt{3}}3$