Toán Đường tròn

[pekun273@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M. N lần lượt là các điểm đối xứng với H qua AB, AC.
a) Chứng minh 4 điểm A, H, B, M cùng nằm trên một đường tròn và AC là tiếp tuyến của đường tròn đó
b) Chứng minh đường tròn đường kính BC nhận MN là tiếp tuyến

 

[iceghost]

a) Do $M, H$ đối xứng nhau qua $AB$
$\implies \widehat{AMB} = \widehat{AHB} = 90^o$
$\implies AHBM$ nội tiếp và $AB$ là đường kính của đường tròn đó
Mà $AB \perp AC \implies AC$ là tiếp tuyến của đường tròn tại $A$

b) Có $\widehat{BAC} = 90^o \implies A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$
Do $M, H$ đối xứng nhau qua $AB$
$\implies \widehat{MAB} = \widehat{HAB}$
$\implies \widehat{MAH} = 2\widehat{HAB}$
Tương tự : $\widehat{NAH} = 2\widehat{HAC}$
Cộng vế theo vế ta được :
$\widehat{MAN} = 2(\widehat{HAB} + \widehat{HAC}) = 2.90^o = 180^o$
$\implies M, A, N$ thẳng hàng

Ta có : $\widehat{BAH} = \widehat{BCA}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)
Mà $\widehat{BAH} = \widehat{BAM}$ (cmt)
$\implies \widehat{BCA} = \widehat{BAM}$
$\implies MA$ là tiếp tuyến của đường tròn (định lý đảo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp)
Hay $MN$ là tiếp tuyến của đường tròn