Toán 9 Đường tròn nội tiếp tam giác

[Lê.T.Hà]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại B
Biết AB=1, AC=2, tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác ABC cắt 2 đoạn thẳng AC và BC lần lượt tại 2 điểm phân biệt M và N
Tìm diện tích lớn nhất của tam giác CMN

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Ông ra đề lười đặt tên điểm ghê : )

Gọi I là tâm nội tiếp
H là tiếp điểm
(I) tiếp xúc AC,CB tại E, D
Từ I, kẻ đg thẳng vuông góc với CI , cắt AC, CB tại P, Q

Hình:



Dễ thấy CI pg
mà CI vuông PQ
=> tg CPQ cân tại C và IP=IQ
mà CD=CE
=> PE=QD

CEID nt
=> EID = 180-ACB
=> MIN = 90 - ACB/2
tg CPQ cân => MIN = CPQ = CQP
Lại có: PIM = 180 - CPQ - IMP = 180 - MIN - IMN = INM = INQ
=> MIP đd QIN (g.g)
=> QN.PM = IP.IQ = (PQ/2)^2

[TEX]S_{CPQ}[/TEX]= CI.PQ/2 = CI.IQ
Vì AB,BC,CA ko đổi
=> r ko đổi (r là bán kính của (I) )
=> CI ko đổi (đoạn này suy luận hơi bừa bãi :< )
=> IQ cũng ko đổi (do (I) ko đổi)
=> [TEX]S_{CPQ}[/TEX] ko đổi

[TEX]S_{CMN}=S_{CPQ}-S_{PMNQ}[/TEX]
Để [TEX]S_{CMNmax}[/TEX] thì [TEX]S_{PMNQmin}[/TEX]

Ta có:
[TEX]S_{PMNQ}=S_{PIM}+S_{QIN}+S_{MIN}[/TEX]
= (IE.PM + IH.MN + ID.QN) /2
= r.(PE+EM+MH+NH+QD+DN) /2
= r.(2PE + 2(EM+DN)) /2
= (PE+EM+DN).r
= (PM+QN-PE).r

Cauchy PM+QN>= 2 căn(PM.QN)= PQ
Dấu "=" <=> PM=QN
talet đảo => MN//PQ
=> MN vuông CI tại H
=> C,I,H thẳng hàng

Tự giải tiếp....