Toán 8 Đường phân giác trong tam giác

[02-07-2019.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC cân tại A có AB=AC=b, BC=a. Đường phân giác BD của tam giác ABC có độ dài bằng độ dài cạnh bên của tam giác ABC. Chứng minh rằng : [tex]\frac{1}{b}- \frac{1}{a}=\frac{b}{(a+b)^2}[/tex]
_______________________________________________________________________________________________________
Em cảm ơn.

 

[Lê Tự Đông]

Cho tam giác ABC cân tại A có AB=AC=b, BC=a. Đường phân giác BD của tam giác ABC có độ dài bằng độ dài cạnh bên của tam giác ABC. Chứng minh rằng : [tex]\frac{1}{b}- \frac{1}{a}=\frac{b}{(a+b)^2}[/tex]
_______________________________________________________________________________________________________
Em cảm ơn.

Xét tam giác ABC có BD là tia phân giác
=> $\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{b}=\frac{DC}{BC}=\frac{AD+DC}{AB+BC}=\frac{AC}{AB+BC}=\frac{b}{a+b}$
=> $AD=\frac{b^{2}}{a+b}$
Hạ BH vuông góc AC
Do tam giác ABD cân(AB=BD) nên BH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABD => $AH=HD=\frac{AD}{2}$
=> $BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}=BC^{2}-HC^{2}$
$b^{2}-(\frac{AD}{2})^{2}=a^{2}-(AC-AH)^{2}=a^{2}-(b-\frac{AD}{2})^{2}$
$b^{2}-\frac{AD^{2}}{4}=a^{2}-b^{2}-\frac{AD^{2}}{4}+b.AD$
$b^{2}-a^{2}=b.AD-b^{2}=b.\frac{b^{2}}{a+b}-b^{2}$
$(b-a)(a+b)=b^{2}.(\frac{b}{a+b}-1) = b^{2}.\frac{-a}{a+b}=\frac{-ab^{2}}{a+b}$
=> $(a-b)(a+b)^{2}=ab^{2}$
=> $\frac{a-b}{ab} = \frac{b}{(a+b)^{2}}$
=> đpcm