Toán 10 Đường đối trung

[Windeee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. M là trung điểm của BC và AM cắt (HBC) tại P ( P nằm giữa A và M). BP và CP cắt AC và AB tại U và V. N là trung điểm của đoạn thẳng UV và X là hình chiếu của N lên BC. Chứng minh AX là đường đối trung.

Bài 2: Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng theo thứ tự này. Cho đường tròn tâm O đi qua A,C và không có tâm nằm trên đường thẳng AC. Các tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau tại P, đoạn BP cắt (O) tại Q. Chứng minh rằng phân giác của góc AQC luôn đi qua một điểm cố định.

Mình cảm ơn mọi người nhiều ạ.

 

[7 1 2 5]

1. Vì AM, BU, CV đồng quy nên [TEX]UV \parallel BC[/TEX].
Lại có [TEX]\widehat{UPV}=\widehat{BPC}=\widehat{BHC}=180^o-\widehat{A}[/TEX] nên [TEX]AUPV[/TEX] nội tiếp.
Vẽ đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC; EF cắt BC tại J.
Ta thấy: [TEX](JD,BC)=-1 \Rightarrow JD.DM=DB.DC[/TEX]
Mà [TEX]DB.DC=DH.DA \Rightarrow JD.DM=DH.DA \Rightarrow H[/TEX] là trực tâm của tam giác AJM.
Gọi giao điểm JH với AM là P' thì [TEX]JH.JP'=JD.JM[/TEX]
Mà [TEX]JD.JM=JB.JC \Rightarrow JB.JC=JH.JP' \Rightarrow P' \in (HBC)[/TEX]
Từ đó [TEX]P' \equiv P[/TEX].
Lấy A' đối xứng với A qua BC thì ta dễ thấy [TEX]A' \in (HBC)[/TEX]
Mặt khác, vì [TEX]H(JD,BC)=-1 \Rightarrow H(PA',BC)=-1[/TEX] nên [TEX]PBA'C[/TEX] là tứ giác điều hòa.
[TEX]\Rightarrow BC,[/TEX]tiếp tuyến tại P và A' của [TEX](HBC)[/TEX] đồng quy tại I.
Khi đó ta có [TEX]IP=IA'[/TEX]. Mà A, A' đối xứng với nhau qua BC nên [TEX]IA=IA' \Rightarrow IA=IP[/TEX].
Lại có: [TEX]\widehat{IPV}=\widehat{VPB}-\widehat{IPB}=\widehat{PBC}+\widehat{PCB}-\widehat{PCB}=\widehat{PBC}=\widehat{VUP} \Rightarrow IP[/TEX] là tiếp tuyến của [TEX](AUPV)[/TEX]
Mà [TEX]IA=IP[/TEX] nên IA là tiếp tuyến [TEX](AUPV)[/TEX]
Khi đó AP là đường đối cực của I đối với [TEX](AUPV)[/TEX]. Vì AP đi qua N nên đường đối cực của [TEX]N[/TEX] đi qua I.
Gọi O' là tâm của [TEX](AUPV)[/TEX] thì đường đối cực của N với [TEX](O')[/TEX] đi qua I và vuông với [TEX]O'N[/TEX]. Mà [TEX]O'N \perp UV \Rightarrow O'N \perp BC[/TEX]
Từ đó suy ra đường đối cực của N là BC. Mà [TEX]O'X \perp BC[/TEX] nên X là đối cực của N qua (O').
Suy ra XU, XV là tiếp tuyến của (O') nên AX là đường đối trung của tam giác AUV.
Từ đó suy ra AX là đường đối trung của tam giác ABC.
2. Bài này chắc là A,B,C cố định, O thay đổi nhỉ.
PQ cắt (O) tại điểm thứ 2 là D, tiếp tuyến tại Q,D của (O) cắt nhau tại E.
Dễ thấy AQCD là tứ giác điều hòa nên E nằm trên AC.
Khi đó ta có [TEX]\Delta EAQ \sim \Delta EQC \Rightarrow \dfrac{AQ}{QC}=\dfrac{EA}{EQ}=\dfrac{EQ}{EC}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \dfrac{AQ}{QC}=\sqrt{\dfrac{EA}{EQ}.\dfrac{EQ}{EC}}=\sqrt{\dfrac{EA}{EC}}[/TEX]
Lại có [TEX](EB,AC)=-1[/TEX] nên E cố định.
Từ đó [TEX]\dfrac{AQ}{QC}[/TEX] không đổi nên phân giác đỉnh Q của tam giác AQC đi qua điểm cố định.

Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.