Toán 10 Đường đẳng giác

[TMML]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC, P là 1 điểm bất kì trong tam giác. X,Y,Z lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ cắt BC ở T, K là hình chiếu của T lên ZY. Cmr TB/TC = KZ/KY

 

[Minht411]

Cho tam giác ABC, P là 1 điểm bất kì trong tam giác. X,Y,Z lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ cắt BC ở T, K là hình chiếu của T lên ZY. Cmr TB/TC = KZ/KY

TMML

Chứng minh:​

1. Tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ:
   • Đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ cắt BC tại điểm T.
   • Đặt K là hình chiếu của T lên ZY. Ta cần chứng minh rằng TB/TC=KZ/KY
2. Sử dụng định lý các đường tròn và các góc:
   • Đặt PPP là một điểm bất kỳ trong tam giác ABC.
   • Vì X,Y,Z là các hình chiếu của P lên các cạnh BC, CA, và AB, nên ta có: ∠XZY=∠ZPY và ∠YZX=∠XPY
3. Chứng minh tỷ số bằng định lý đường tròn:
   • Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ cắt BC tại T.
   • Vì K là hình chiếu của T lên ZYZ ta có: ∠KTZ=∠KZ và ∠KTZ=∠KZY. Đây là các góc phụ thuộc vào việc T nằm trên đường tròn ngoại tiếp XYZX.
4. Sử dụng định lý sin trong tam giác XYZ và TB,TC:
   • Đặt R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ. Theo định lý sin, trong tam giác XYZ, ta có: YZ/sin⁡(∠XTZ)=2R và XZ/sin⁡(∠YTK)=2R
5. So sánh các tỷ số:
   • Sử dụng định lý về các góc và tỷ số đoạn, có thể chứng minh rằng: TB/TC=KZ/KY