Với [imath]x \in (0,\dfrac{\pi}{2})[/imath] thì bảng biến thiên của [imath]\sin x[/imath] như sau:
[math]\begin{array}{c|ccc} x & 0 & & \dfrac{\pi}{2} \\ \hline & & & 1 \\ & & \nearrow & \\ y & 0 & & \end{array}[/math]Từ đó ta đưa [imath]f(x)=g(t)=|t^3-mt+1|[/imath] trên [imath]t \in (0,1)[/imath]
[imath]g'(t)=\dfrac{t^3-mt+1}{|t^3-mt+1|}\cdot (3t^2-m)[/imath]
Để [imath]g(t)[/imath] đồng biến trên [imath](0,1)[/imath] thì [imath]\left[\begin{array}{l} \begin{cases} t^3-mt+1>0 \\ 3t^2-m>0 \end{cases} \forall t \in (0,1) \\ \begin{cases} t^3-mt+1 <0 \\ 3t^2-m<0 \end{cases} \forall t \in (0,1) \end{array}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases} m<t^2+\dfrac{1}{t} \\ m<3t^2 \end{cases} \forall t \in (0,1) \\ \begin{cases} m>t^2+\dfrac{1}{t} \\ m>3t^2 \end{cases} \forall t \in (0,1) \end{array}\right.[/imath]
Xét bảng biến thiên 2 hàm [imath]f_1(t)=t^2+\dfrac{1}{t}[/imath] và [imath]f_2(t)=3t^2[/imath] ta được:
[imath]\left[\begin{array}{l} \begin{cases} m<\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}} \\ m \leq 0 \end{cases}\\ \begin{cases} m>t^2+\dfrac{1}{t} (\text{không tồn tại m})\\ m \geq 3 \end{cases} \end{array}\right. \Leftrightarrow m \leq 0[/imath]
Mà [imath]m[/imath] là số tự nhiên nên chỉ có [imath]m=0[/imath] thỏa mãn.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
