Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, và I là trung điểm của cạnh BC. Điểm M thuộc cạnh AC và điểm N thuộc tia đối của tia BA. Chứng minh rằng IM = IN khi và chỉ khi IMC = INB.
Chứng minh chiều thuận: Giả sử $IM=IN$, chứng minh $\widehat{IMC}=\widehat{INB}$
Lấy điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $AI\Rightarrow IM'=IM,\widehat{M'IA}=\widehat{MIA}$
Ta chứng minh được $\triangle M'BI=\triangle MCI\Rightarrow \widehat{IMC}=\widehat{IM'B}$
Ta có $IM'=IM=IN$ nên $\triangle IM'N$ cân tại $I\Rightarrow \widehat{IM'B}=\widehat{INB}$
Suy ra $\widehat{IMC}=\widehat{INB}$
Chứng minh chiều đảo: Giả sử $\widehat{IMC}=\widehat{INB}$, chứng minh $IM=IN$.
Lấy điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $AI\Rightarrow IM'=IM,\widehat{M'IA}=\widehat{MIA}$
Ta chứng minh được $\triangle M'BI=\triangle MCI\Rightarrow \widehat{IMC}=\widehat{IM'B}$
Ta có $\widehat{IM'B}=\widehat{IMC}=\widehat{INB}$ nên $\triangle IM'N$ cân tại $I\Rightarrow IM'=IN$
Suy ra $IM=IN$.
Ta có đpcm.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = CN. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của MN.
Gọi $D$ là trung điểm $MN$, kẻ đường phân giác $AH$ của $\triangle ABC$
Lấy $M'$ đối xứng với $M$ qua $AH\Rightarrow AM=AM'$ \widehat{HAM'}=\widehat{HAM}=\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$ nên $A,M',C$ thẳng hàng.
Ta cũng có $AH$ đồng thời là đường cao nên $AH\perp BC$
$\triangle AMM'$ là tam giác cân tại $A$ có $AH$ là phân giác nên $AH$ cũng là đường cao $\Rightarrow AH\perp MM'$
Suy ra $MM'\parallel BC$.
Ta có $FM'=FA-AM'=FA-AM=FC-CN=FN$ nên $F$ là trung điểm $M'N$
và $D$ là trung điểm $MN$
Suy ra $FD$ là đường trung bình của $\triangle NMM'\Rightarrow FD\parallel MM'\Rightarrow FD\parallel BC$
Mà $EF\parallel BC$ nên $D,E,F$ thẳng hàng. Ta có đpcm.
Nếu có thắc mắc bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
