Giải các bài toán ứng dụng Nguyên lý Dirichlet
I.-Giới thiệu: Nguyên lý Đirichlê (Dirichlet) còn gọi là "nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng " hoặc "nguyên tắc xếp đồ vật vào ngăn kéo" hoặc nguyên tắc lổ chuồng câu".
Nội dung của nguyên lý này hết sức đơn giản và dễ hiểu, nhưng lại có tác dụng rất lớn trong giải toán. Nhiều khi có những bài toán, người ta đã dùng rất nhiều phương pháp toán học để giải mà vẫn chưa đi đến kết quả, nhưng nhờ nguyên lý Đirichlê mà bài toán trở nên dễ dàng giải quyết. Thí dụ một bài trong đề thi vào trường ĐHSP Vinh có năm ra bài như sau:
…Có tồn tại hay không số có dạng: 20022002....20022002 chia hết cho 2003 ?
Tuy nhiên, có những bài toán có vẻ hiển nhiên là thế. Song trong toán học phải chứng minh. Chẳng hạn: Hãy chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất 2 số có chữ số tận cùng giống nhau. Nguyên lý Dỉichlet ứng dụng rất đa dạng, từ số học, topo, logic học… đều có những bài toán hay . Xin giới thiệu một loạt bài toán sau
II. Các bài toán mẫu, ứng dụng nguyên lí Dirichlet :
A.-Các bài toán số học:
1. Toán suy luận logic : * Bài 1:
Đề 1 : Có 10 đội bóng thi đấu với nhau trong một giải, mỗi đội phải đấu một trận với các đội khác. CMR vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như nhau. GIẢI: Rõ ràng nếu trong 10 đội bóng có 1 đội chưa đấu một trận nào thì trong các đội còn lại không có đội nào đã thi đấu 9 trận. Như vậy 10 đội chỉ có số trận đấu hoặc từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9. Vậy theo nguyên lý Đirichlê phải có ít nhất 2 đội có số trận đấu như nhau. (Đội chưa đấu trận nào, số trận = 0) * Bài 2:
Đề 2 : Có 6 đội bóng thi đấu với nhau (mỗi đội phải đấu 1 trận với 5 đội khác). CMR vào bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào. GIẢI: Giả sử 6 đội bóng đó là A,B,C,D,E,F. Xét đội A. Theo nguyên lý Đirichlê ta suy ra: A phải đấu hoặc không đấu với ít nhất 3 đội khác. Không mất tính tổng quát, giả sử A đã đấu với B,C,D. Nếu B,C,D từng cặp chưa đấu với nhau thì bài toán được chứng minh. Nếu B,C,D có 2 đội đã đấu với nhau, ví dụ B và C thì 3 đội A,B,C từng cặp đã đấu với nhau. Như vậy bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào. * Bài 3:
Đề 3 : CMR trong n người bất kì, tồn tại hai người có số người quen như nhau (kể cả trường hợp quen 0 người) GIẢI: Tương tự ví dụ 1, ta xét n nhóm... * Bài 4:
Đề 4 : Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10. CMR ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10) GIẢI: Có 43 học sinh phân chia vào 8 loại điểm (từ 2 đến 9). Giả sử mỗi loại trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có không quá 5.8=40 học sinh, ít hơn 43 học sinh. Vậy tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. 2. Ứng dung trong bài toán chia hết: Trong các phép tính trên số nguyên thì phép chia là rất đặc biệt. Phép chia có hàng loạt các tính chất mà các phép còn lại không có.
Chẳng hạn, các phép toán cộng , trừ , nhân đều thực hiện với số 0 còn phép chia thì không thể. Vì những lí do đặc biệt đó mà trong toán học xây dựng hẳn 1 lý thuyết về phép chia .
Những ví dụ sau có liên quan mật thiết giữa phép chia và nguyên lý Dirchlet * Bài 5:
Đề : CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2007. GIẢI: Xét 2008 số có dạng 1,11,...,11...11. Theo nguyên tắc Đirichlê thì tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2007. Giả sử hai số đó là: A={11...1}_{n} và B={11
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
