Ta sẽ chứng minh bổ đề sau (Định lí Ceva):
Cho [tex]\Delta ABC[/tex], các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB. Khi đó, AD, BE và CF đồng quy khi và chỉ khi:
[tex]\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1[/tex]
Chứng minh:
Giả sử ta có: $AD; BE; CF$ đồng quy tại một điểm $O$ nào đó (trong hay ngoài tam giác). Do $\triangle BOD$ và $\triangle COD$ có chung chiều cao (độ dài của đường cao), ta có: $\frac{|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}=\frac{BD}{DC}$
Tương tự, $\frac{|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}=\frac {BD}{DC}$
Ta suy ra [tex]\frac{BD}{DC} =\frac{|\triangle ABD|-|\triangle OBD|}{|\triangle ACD|-|\triangle OCD|}=\frac{|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}[/tex]. (1)
Tương tự,$\frac {CE}{EA}=\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}$(2) và$\frac {AF}{FB}=\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}$ (3)
$(1) \times (2) \times (3)$ cho ta:$\frac {AF}{FB}\cdot \frac {BD}{DC}\cdot \frac {CE}{EA}=1$(điều phải chứng minh).
Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm $D; E; F$ thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của $AD$ và $BE$ là $O$; $CO$ với $AB$ là $F'$.Theo chứng minh trên, $\frac {AF'}{F'B}\cdot \frac {BD}{DC}\cdot \frac {CE}{EA}=1$.
Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được: $\frac {AF'}{F'B}=\frac {AF}{FB}$
Thêm 1 vào mỗi vế và chú ý rằng $AF'+F'B=AF+FB=AB$, ta có $\frac {AB}{F'B}=\frac {AB}{FB}$
Do đó $F'B=FB$, vậy $F \equiv F'$ trùng nhau. Vì vậy,$AD; BE; CF \equiv CF'$ đồng quy (điều phải chứng minh)
Trở lại bài toán.
Ta có: [tex]\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}; BE=EC\Rightarrow \frac{AM}{MB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CN}{NA}=1[/tex]
[tex]\Rightarrow AE; BN; CM[/tex] đồng quy.
Mặt khác, $AE$ cắt $BN$ tại $I$ [tex]\Rightarrow C;I;M[/tex]thẳng hàng...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
