Toán 10 Định lý Lagrange

[oanh6807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mong được giúp đỡ ạ!!!!!!!!!!!

 

[2712-0-3]

Câu 1: Đề phải cho P(x) monic mới được nha, không thì xét P(x) = 15x là chia hết luôn.
Giả sử [imath]n\leq 4[/imath]
Áp dụng khai triển Abel cho đa thức P ta có:
[imath]P(x) = a_n (x-n)(x-n+1)\cdots (x-1) + a_{n-1} (x-n+1)\cdots (x-1) + \cdots + a_1(x-1) + a_0[/imath]
Sau đó, thay [imath]x=1 \Rightarrow P(1)= a_0 \vdots 5[/imath]
Thay [imath]x=2 \Rightarrow P(2) = a_1 + a_0 \vdots 5 \Rightarrow a_1 \vdots 5[/imath]
Cùng với đó là [imath]n![/imath] không chia hết cho 5, nên cứ như thế đến [imath]P(n) = a_{n-1}.(n-1)! + a_{n-2}.(n-1)\cdots 2 + \cdots + a_1.(n-1)+a_0 \vdots 5[/imath]
[imath]\Rightarrow a_{n-1} . (n-1)! \vdots 5 \Rightarrow a_{n-1} \vdots 5[/imath]
[imath]P(n+1) = a_n.n! + \cdots[/imath], cũng suy ra được [imath]a_n \vdots 5[/imath] , vô lý do [imath]P[/imath] monic nên [imath]a_n = 1[/imath].
Suy ra giả sử sai, tức [imath]n\geq 5[/imath].
Xét [imath]P(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)[/imath], sẽ chia hết cho 15 với mọi x nguyên. thỏa mãn.

 

[oanh6807]

Câu 1: Đề phải cho P(x) monic mới được nha, không thì xét P(x) = 15x là chia hết luôn.
Giả sử [imath]n\leq 4[/imath]
Áp dụng khai triển Abel cho đa thức P ta có:
[imath]P(x) = a_n (x-n)(x-n+1)\cdots (x-1) + a_{n-1} (x-n+1)\cdots (x-1) + \cdots + a_1(x-1) + a_0[/imath]
Sau đó, thay [imath]x=1 \Rightarrow P(1)= a_0 \vdots 5[/imath]
Thay [imath]x=2 \Rightarrow P(2) = a_1 + a_0 \vdots 5 \Rightarrow a_1 \vdots 5[/imath]
Cùng với đó là [imath]n![/imath] không chia hết cho 5, nên cứ như thế đến [imath]P(n) = a_{n-1}.(n-1)! + a_{n-2}.(n-1)\cdots 2 + \cdots + a_1.(n-1)+a_0 \vdots 5[/imath]
[imath]\Rightarrow a_{n-1} . (n-1)! \vdots 5 \Rightarrow a_{n-1} \vdots 5[/imath]
[imath]P(n+1) = a_n.n! + \cdots[/imath], cũng suy ra được [imath]a_n \vdots 5[/imath] , vô lý do [imath]P[/imath] monic nên [imath]a_n = 1[/imath].
Suy ra giả sử sai, tức [imath]n\geq 5[/imath].
Xét [imath]P(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)[/imath], sẽ chia hết cho 15 với mọi x nguyên. thỏa mãn.

2712-0-3Bài 1, bổ sung thêm vào đề là hệ số cao nhất của P bằng 1 nha.

 

[2712-0-3]

Câu 2:
a) Ý a cũng xài Lagrange sao ý :==, oh no.
Đặt [imath]G(x) = x^{p-1} -1[/imath] và [imath]H(x) = (x-1)(x-2) \cdots (x-p+1)[/imath]
Xét [imath]Q(x) = G(x)-H(x)[/imath] là đa thức bậc [imath]p-2[/imath]
Theo định lý Fecma nhỏ, ta có [imath]G(1), G(2), \cdots , G(p-1) \vdots p[/imath], đồng thời [imath]H(1), H(2),\cdots H(p-1) \vdots p[/imath] (hiển nhiên)
Nên [imath]Q(1), Q(2), \cdots Q(p-1)\equiv 0 (mod p)[/imath], tức phương trình [imath]Q(x)\equiv 0 (mod p)[/imath] có [imath]p-1[/imath] nghiệm phân biệt theo mod p.
Theo định Lý Lagrange, nếu Q(x) không đồng nhất 0 theo mod p, thì chỉ có tối đa p-2 nghiệm phân biệt theo mod p của phương trình trên (vô lý), nên Q(x) đồng nhất 0 theo mod p.
Tức [imath]x^{p-1} -1 \equiv (x-1)(x-2) \cdots (x-p+1) (mod p)[/imath]
b) Do Q(x) đồng nhất 0 theo mod p, nên mọi hệ số của Q(x) đều chia hết cho p.
Xét hệ số tự do là [imath]-1 - (p-1)! . (-1)^{p-1} \vdots p[/imath]
+ Nếu [imath]p=2[/imath], hiển nhiên thỏa mãn
+ Nếu p lẻ, khi đó [imath](-1)^{p-1} =1 \Rightarrow (p-1)! \equiv -1 (mod p)[/imath]