Toán 9 $\dfrac1{r+a^2+b^2}+\dfrac1{r+b^2+c^2}+\dfrac1{r+c^2+a^2}\leq\dfrac3{r+2}$

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c \geq 0$ và ab+bc+ca=3
Nếu $r \geq 1$ thì $\frac{1}{r+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{r+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{r+c^{2}+a^{2}} \leq \frac{3}{r+2}$

 

[7 1 2 5]

Đặt [TEX]P=\frac{1}{r+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{r+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{r+c^{2}+a^{2}}[/TEX]
Ta có: [tex]3-P.r=\frac{a^2+b^2}{r+a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{r+b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{r+c^2+a^2} [/tex]
Ta đi chứng minh [TEX]3-P.r \geq \frac{6}{r+2} \Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{r+a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{r+b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{r+c^2+a^2} \geq \frac{6}{r+2}[/TEX]
Ta có: [TEX]\frac{a^2+b^2}{r+a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{r+b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{r+c^2+a^2} \geq \frac{(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})^2}{3r+2(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]
Ta thấy: [TEX](\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})^2=2(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}+2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}+2\sqrt{(c^2+a^2)(a^2+b^2)}[/TEX]
Mà [TEX]\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)} \geq b^2+ac[/TEX] nên ta cần chứng minh [TEX]\frac{4(a^2+b^2+c^2)+6}{3r+2(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{6}{r+2} \Leftrightarrow 4(r-1)(a^2+b^2+c^2) \geq 12(r-1)[/TEX] (đúng do [TEX]r \geq 1,a^2+b^2+c^2 \geq 3[/TEX])

Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.