Toán 9 $\dfrac {a^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{b^3}{c^2-ca+c^2}+\dfrac{c^3}{a^2-ab+b^2}\ge a+b+c$

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi David Wind, 25 Tháng mười một 2021.

Lượt xem: 137

  1. David Wind

    David Wind Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    39
    Điểm thành tích:
    6
    Nơi ở:
    Quảng Nam
    Trường học/Cơ quan:
    Đà Nẵng
    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:
    $\dfrac {a^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{b^3}{c^2-ca+c^2}+\dfrac{c^3}{a^2-ab+b^2}\ge a+b+c$
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng mười một 2021
    Timeless time thích bài này.
  2. Mộc Nhãn

    Mộc Nhãn TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    5,978
    Điểm thành tích:
    866
    Nơi ở:
    Hà Tĩnh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Hà Tĩnh

    Đặt [TEX]p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc \Rightarrow 3=a^2+b^2+c^2=p^2-2q[/TEX]
    Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta có:
    [tex]\sum_{cyc}\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}=\sum_{cyc}\frac{a^4}{ab^2-abc+ac^2} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2-3abc}=\frac{9}{pq-6r}[/tex]
    Áp dụng BĐT Schur bậc 4 ta có:
    [tex]r \geq \max\left \{ 0,\frac{(p^2-q)(4q-p^2)}{6p} \right \}[/tex]
    + Nếu [TEX]4q -p^2 \leq 0 \Rightarrow 2(p^2-3)-p^2 \leq 0 \Rightarrow p^2 \leq 6 \Rightarrow q=\frac{p^2-3}{2}\leq \frac{3}{2}[/TEX]
    Ta có: [TEX]\frac{9}{pq-6r} \geq \frac{9}{pq}=p.\frac{9}{p^2.q} \geq p.\frac{9}{6.\frac{3}{2}}=p[/TEX]
    + Nếu [TEX]4q-p^2 \geq 0 \Rightarrow 2(p^2-3)-p^2 \geq 0 \Rightarrow p^2 \geq 6[/TEX]
    Ta có: [TEX]\frac{9}{pq-6r}=\frac{9}{p.\frac{p^2-3}{2}-6.\frac{(p^2-q)(4q-p^2)}{6p}}=\frac{9}{p.\frac{p^2-3}{2}-6.\frac{(p^2+3)(p^2-6)}{12p}}=\frac{9}{p} \geq p[/TEX]( do [TEX]p^2 \leq 9[/TEX])
     
    Timeless time, David Windkido2006 thích bài này.
  3. kido2006

    kido2006 TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    1,243
    Điểm thành tích:
    216
    Nơi ở:
    Bắc Ninh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Bắc Ninh

    Hồi trưa mình làm sai nên mình làm lại nhé :vv
    Có vẻ không cần dùng đến giả thiết luôn ^^

    [tex]\sum \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}=\sum \frac{a^4}{ab^2-abc+ac^2} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2-3abc}\geq a+b+c\\ \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq (a+b+c)(ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2-3abc)\\ \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq \sum ab(a^2+b^2) \textrm{ (đúng theo Schur bậc 4 ) }[/tex]
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY