Toán 11 $\dfrac 2{3+ab+bc+ca}+\dfrac{\sqrt{abc}}6+\sqrt[3]{\dfrac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\le1$

[Lê Gia An]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=3. CMR:
[tex]\frac{3}{3+ab+bc+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{6}+\sqrt{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\leq 1[/tex]

Mọi người giúp mình với

 

[7 1 2 5]

Bạn xem lại đề nhé, với [TEX]a=b=c=1[/TEX] thì [TEX]VT=\frac{2}{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}>1[/TEX].

 

[Lê Gia An]

Bạn xem lại đề nhé, với [TEX]a=b=c=1[/TEX] thì [TEX]VT=\frac{2}{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}>1[/TEX].

[tex]\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{6}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}[/tex][tex]\leq 1[/tex]

Cái này mới đúng nè, cái trên mình nhắm mắt nhắm mũi nhập sai rồi :v

 

[kido2006]

[tex]\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{6}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}[/tex][tex]\leq 1[/tex]

Cái này mới đúng nè, cái trên mình nhắm mắt nhắm mũi nhập sai rồi :v

Có [tex]\left\{\begin{matrix} (1+a)(1+b)(1+c)\geq^{Holder} (1+\sqrt[3]{abc})^3\\ ab+bc+ca\geq \sqrt{3abc(a+b+c)}=3\sqrt{abc} \end{matrix}\right.[/tex]
Khi đó [tex]L.H.S\leq \frac{2}{3+3\sqrt{abc}}+\frac{\sqrt{abc}}{6}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+\sqrt[3]{abc})^3}}=\frac{2}{3+3\sqrt{t}}+\frac{\sqrt{t}}{6}+\frac{\sqrt[3]{t}}{1+\sqrt[3]{t}} \textrm{ với t=abc }[/tex]
Và [tex]0 < t=abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=1[/tex]
Tới đây bạn khảo sát hàm [tex]f(t)=\frac{2}{3+3\sqrt{t}}+\frac{\sqrt{t}}{6}+\frac{\sqrt[3]{t}}{1+\sqrt[3]{t}}[/tex] với $t \in (0,1]$
Sẽ thu được [tex]f(t)\leq 1\Rightarrow L.H.S\leq 1 (Q.E.D)[/tex]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^ !
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/