Câu 1
a. Xét \[A=\frac{\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}-\frac{1+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}\]
Đặt \[B=\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}-\frac{1+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}=\frac{{{(1-\sqrt{5})}^{2}}-{{(1+\sqrt{5})}^{2}}}{-4}=\frac{-4\sqrt{5}}{-4}=\sqrt{5}\]
Ta có \[A=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1\]
b.
Hàm số \[y=(\sqrt{{{m}^{2}}-5}-2)x+3\] nghịch biến
\[\begin{align}
& \Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}-5}-2<0 \\
& \sqrt{{{m}^{2}}-5}<2 \\
& {{m}^{2}}-5<4 \\
& {{m}^{2}}<9 \\
& -3<m<3 \\
\end{align}\]
Câu 2
b.
Nếu \[\frac{1}{\sqrt{x+10}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\] thì
\[\begin{align}
& Pt\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+1=\sqrt{x+10} \\
& \sqrt{x+10}-\sqrt{x+1}=1 \\
\end{align}\]
Đặt \[\sqrt{x+10}=u;\sqrt{x+1}=v(u>0;v\ge 0)\]
Ta có hệ \[\left\{ \begin{align}
& u-v=1 \\
& {{u}^{2}}-{{v}^{2}}=9 \\
\end{align} \right.\]
Đến đây các bạn tự giải.
Câu 3
Xét
\[\begin{align}
& {{a}^{2021}}+{{b}^{2022}}+{{c}^{2023}}-({{a}^{2019}}+{{b}^{2020}}+{{c}^{2021}}) \\
& =({{a}^{2021}}-{{a}^{2019}})+({{b}^{2022}}-{{b}^{2020}})+({{c}^{2023}}-{{c}^{2021}}) \\
& ={{a}^{2019}}({{a}^{2}}-1)+{{b}^{2020}}({{b}^{2}}-1)+{{c}^{2021}}({{c}^{2}}-1) \\
& ={{a}^{2018}}a(a-1)(a+1)+{{b}^{2019}}b(b-1)(b+1)+{{c}^{2020}}c(c-1)(c+1) \\
\end{align}\]
Có a, a-1, a+1 là 3 số tự nhiên lien tiếp nên \[\left\{ \begin{align}
& a(a-1)(a+1)\vdots 2 \\
& a(a-1)(a+1)\vdots 3 \\
\end{align} \right.\]
Mà \[(2;3)=1\] \[\Rightarrow a(a-1)(a+1)\vdots 6\] \[\Rightarrow {{a}^{2018}}a(a-1)(a+1)\vdots 6\]
Chứng minh tương tự \[\Rightarrow {{a}^{2018}}a(a-1)(a+1)+{{b}^{2019}}b(b-1)(b+1)+{{c}^{2020}}c(c-1)(c+1)\vdots 6\]
Mà \[{{a}^{2019}}+{{b}^{2020}}+{{c}^{2021}}\vdots 6\]\[\Rightarrow {{a}^{2021}}+{{b}^{2022}}+{{c}^{2023}}\vdots 6\]
Câu 4
a.
Pt (1) có \[\Delta '={{(m-1)}^{2}}-({{m}^{2}}-2m-3)={{m}^{2}}-2m+1-{{m}^{2}}+2m+3=4>0\]
Suy ra phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b.
Ta có
\[\begin{align}
& A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \\
& ={{(m+1)}^{2}}+{{(m-3)}^{2}}+5(m+1)(m-3) \\
& ={{m}^{2}}+2m+1+{{m}^{2}}-6m+9+5({{m}^{2}}-2m-3) \\
& =7{{m}^{2}}-14m-5 \\
& =7{{(m-1)}^{2}}-13\ge -13 \\
& MinA=-13.''=''\Leftrightarrow x=1 \\
\end{align}\]
\[\Rightarrow \frac{p}{q}=\frac{1}{1}\]
Khi đó \[T=\frac{1+1}{1+1}=1\]
Câu 5
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
