đề toán chuyên THPT chuyên Nguyễn Huệ năm 2011

[asroma11235]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1)
a) với

, giải phương trình:

b)giải hệ phương trình:

Bài 2:
a)tìm tất cả số nguyên dương n sao cho:

chia hết cho

b)Với 3 số x,y,z không âm thỏa mãn: x+y+z=6. Tìm min và max của:A=

Bài 3:
Trên đường tròn tâm O đường kính AB=2R lấy điểm N sao cho AN=R và m là 1 điểm bất kì trên cung nhỏ BN (M ko trùng với M,N). Gọi I là giao diểm của AM và BN. Đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với AB tại C.
a)Chứng minh 3 điểm M,M,C thẳng hàng
b)Xác định M để chu vi tứ giác ABMN lớn nhất
c)Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi M thay đổi trên cunug nhỏ BN của đường trong (O;R).
d)Gọi P là điểm chính giữa cung AB không chứa N. Đường thẳng MP cắt AB tại D.Chứng minh:

không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ BN.
Bài 4:
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn:

Bài 5:
Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 27 số mà tổng của chúng chia hết cho 27.

 

[conami]

b)Với 3 số x,y,z không âm thỏa mãn: x+y+z=6. Tìm min và max của:A=

.

Bài bđt khá dễ.
Áp dụng bđt Bunhia ta có:
[TEX]3(x^{2} + y^{2}+z^{2})\geq(x+y+z)^{2}=36[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A\geq12[/TEX]
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=2
Từ GT suy ra [TEX]0\leq x,y,z\leq6[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x(x-6)\leq0 \Rightarrow x^{2}\leq6x[/TEX]
Tương tự [TEX]y^{2}\leq6y;z^{2}\leq6z[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A\leq6(x+y+z)=36[/TEX]
Dấu "=" xảy ra (x;y;z)=(0;0;6) và các hoán vị

 

[longlxag123]

bài cuối hình như là tính sigma của tổ hợp chập 27 của 53 faj ko bạn&gt;-
bài này cug hơi difficult, mới nghĩ dc nhiu đó:khi (47):

 

[cuccuong]

chưa biết "sigma của tổ hợp chập 27 của 53" là gì nhưng mà mình nghĩ là dùng nguyên lý dirichlet.

 

[k1nk1n_96]

biết là vậy nhưng áp dụng như thế nào là 1 chuyện hoàn toàn ko đơn giản....................=.=


.......bài 1a tính delta bình thường, 1b đặt x-y=a và xy=b...............

 

[viettb_tb]

1)Cho tg ABC vuông cân tại A , lấy điểm D trên AC và điểm E trên AB sao cho AD=AE. các đường vuông goc với EC kẻ từ A và D lần lượt cắt cạnh BC ở K và L
chứng minh rằng BK=KL
2)cho tứ giác lồi ABCD (AB>CD), kéo dài AD và BC cắt nhau tại E.gọi S là tổng(tính bằng độ) của các góc CDE và DCE,S' là tổng (tính bằng độ) của các góc BAD và ABC. so sánh S và S' giải thích
các bạn có thể giải dùm mình bầiày khồng hơi khó do

 

[asroma11235]

Bài 1)
a) với , giải phương trình:

, giải phương trình:

b)giải hệ phương trình:

Bài 2:
a)tìm tất cả số nguyên dương n sao cho:

chia hết cho

b)Với 3 số x,y,z không âm thỏa mãn: x+y+z=6. Tìm min và max của:A=

Bài 3:
Trên đường tròn tâm O đường kính AB=2R lấy điểm N sao cho AN=R và m là 1 điểm bất kì trên cung nhỏ BN (M ko trùng với M,N). Gọi I là giao diểm của AM và BN. Đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với AB tại C.
a)Chứng minh 3 điểm M,M,C thẳng hàng
b)Xác định M để chu vi tứ giác ABMN lớn nhất
c)Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi M thay đổi trên cunug nhỏ BN của đường trong (O;R).
d)Gọi P là điểm chính giữa cung AB không chứa N. Đường thẳng MP cắt AB tại D.Chứng minh:

không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ BN.
Bài 4:
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn:

Bài 5:
Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 27 số mà tổng của chúng chia hết cho 27.

Còn mỗi bài 5 tớ chưa làm được thôi/ ai vào giúp tớ đi :-?

 

[duynhan1]

Bài 5:
Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 27 số mà tổng của chúng chia hết cho 27.

Ta sử dụng bổ đề: Trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được 3 số sao cho tổng 3 số chia hết cho 3.

Xét số dư của 5 số tự nhiên khi chia cho 3.
+Nếu có 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 số đó chia hết cho 3.
+Nếu không có 3 số nào có cùng số dư khi chia cho 3 thì ít nhất tồn tại 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2 nên tổng 3 số này chia hết cho 3.

Vậy bổ đề được chứng minh.

Tiếp tục chứng minh:
Trong 17 số tự nhiên luôn chọn được 9 số sao cho tổng của 9 số chia hết cho 9.
Áp dụng bổ đề ở trên ta có :
Lấy 3 bộ 5 số ta chọn được 3 bộ số có tổng chia hết cho 3.
Như vậy còn 8 số, lấy tiếp 5 số thì ta chọn được 1 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Còn 5 số cuối cùng ta chọn được thêm 1 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Do đó ta có 5 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Tổng 5 bộ 3 số lần lượt là : [TEX]T_1;\ T_2;\ T_3\ T_4;\ T_5[/TEX]
Xét 5 số tự nhiên :
[TEX]\frac{T_1}{3};\ \frac{T_2}{3};\ \frac{T_3}{3};\ \frac{T_4}{3};\ \frac{T_5}{3}[/TEX] thì ta luôn chọn được 3 số chia hết cho 3 do đó tồn tại 3 số trong 5 tổng trên có tổng chia hết cho 9.

Trong 53 số tự nhiên ta chọn được 5 bộ, mỗi bộ gồm 9 số tự nhiên có tổng chia hết cho 9.
Tổng của các bộ số lần lượt là [TEX]S_1;\ S_2;\ S_3;\ S_4;\ S_5[/TEX]
Xét bộ 5 số tự nhiên [TEX]\frac{S_1}{9};\ \frac{S_2}{9};\ \frac{S_3}{9};\ \frac{S_4}{9};\ \frac{S_5}{9}[/TEX]áp dụng bổ đề ban đầu thì ta chọn được 3 số sao cho tổng chia hết cho 3 do đó trong 5 số [TEX]S_1;\ S_2;\ S_3;\ S_4;\ S_5[/TEX] sẽ tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 27( điều phải chứng minh)

 

[linhhuyenvuong]

Bài 2:
a)tìm tất cả số nguyên dương n sao cho:

chia hết cho

b)Với 3 số x,y,z không âm thỏa mãn: x+y+z=6. Tìm min và max của:A=

Làm bài dễ nhất
a, Ta có:
[TEX] n^2-9n-3 =n^2-11n+2n- 22 +25=n(n-11)+2(n-11)+25[/TEX]
để [TEX] n^2-9n-3 \vdots (n-11) \Leftrightarrow 25 \vdots (n-11)[/TEX]
nếu n-11=1 \Rightarrow n=12 (t/m)
n-11=5 ~> n=16(t/m)
n-11=25 ~> n=36(t/m)

 

[thienlong_cuong]

Ta sử dụng bổ đề: Trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được 3 số sao cho tổng 3 số chia hết cho 3.

Xét số dư của 5 số tự nhiên khi chia cho 3.
+Nếu có 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 số đó chia hết cho 3.
+Nếu không có 3 số nào có cùng số dư khi chia cho 3 thì ít nhất tồn tại 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2 nên tổng 3 số này chia hết cho 3.

Vậy bổ đề được chứng minh.

Tiếp tục chứng minh:
Trong 17 số tự nhiên luôn chọn được 9 số sao cho tổng của 9 số chia hết cho 9.
Áp dụng bổ đề ở trên ta có :
Lấy 3 bộ 5 số ta chọn được 3 bộ số có tổng chia hết cho 3.
Như vậy còn 8 số, lấy tiếp 5 số thì ta chọn được 1 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Còn 5 số cuối cùng ta chọn được thêm 1 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Do đó ta có 5 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Tổng 5 bộ 3 số lần lượt là : [TEX]T_1;\ T_2;\ T_3\ T_4;\ T_5[/TEX]
Xét 5 số tự nhiên :
[TEX]\frac{T_1}{3};\ \frac{T_2}{3};\ \frac{T_3}{3};\ \frac{T_4}{3};\ \frac{T_5}{3}[/TEX] thì ta luôn chọn được 3 số chia hết cho 3 do đó tồn tại 3 số trong 5 tổng trên có tổng chia hết cho 9.

Trong 53 số tự nhiên ta chọn được 5 bộ, mỗi bộ gồm 9 số tự nhiên có tổng chia hết cho 9.
Tổng của các bộ số lần lượt là [TEX]S_1;\ S_2;\ S_3;\ S_4;\ S_5[/TEX]
Xét bộ 5 số tự nhiên [TEX]\frac{S_1}{9};\ \frac{S_2}{9};\ \frac{S_3}{9};\ \frac{S_4}{9};\ \frac{S_5}{9}[/TEX]áp dụng bổ đề ban đầu thì ta chọn được 3 số sao cho tổng chia hết cho 3 do đó trong 5 số [TEX]S_1;\ S_2;\ S_3;\ S_4;\ S_5[/TEX] sẽ tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 27( điều phải chứng minh)

Vậy thì theo như cách chững minh trên ta có thể suy luận đc
Vơi 2n -1 số tự nhiên bất kì luôn tìm đc n số tự nhiên sao ho tổng của chúng chia hết cho n!

Như vậy có đúng ko ạ !
Liệu rằng có cách nào để chứng minh nó ko ạ!??????????

Không đúng đâu

 

[minnie.shim]

bọn em đi thi đều làm theo dirichlet
nghĩa là 53= 26.2+1
khi chia 26 có 26 số dư, thêm 1= 27 số dư, cộg vào chia hết cho 27 có đc k ạk?

 

[duynhan1]

bọn em đi thi đều làm theo dirichlet
nghĩa là 53= 26.2+1
khi chia 26 có 26 số dư, thêm 1= 27 số dư, cộg vào chia hết cho 27 có đc k ạk?

Nó sai vì không nhất thiết 26 số dư phải khác nhau.
Ví dụ :
12 số chia 27 dư 1.
13 số chia 27 dư 2.
......

 

[minnie.shim]

thế bài này k làm theo dirichlet đc ạk?

 

[k1nk1n_96]

.............thank a Mod, còn bài 4 ai giải đc ùi post lên kái...........ức nhất bài này thôi =]]]............

 

[linhhuyenvuong]

mama

Bài 4:
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn:
xyz=x^2-2z+2

ai đó làm hộ cho em học hỏi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[copekho_97]

xyz = x^2 - 2z + 2
=> xyz - x^2 + 2z = 2
<=> x ( yz- 1 ) + 2z =2
xét trường hợp chia hết cho 2 ( 2 trường hợp)
( hihi mình mới học tc chia hết xong mừ )
nhưng chưa chắc đã đúng
các bạn góp ý nha

 

[nerversaynever]

[TEX]\begin{array}{l}xyz = x^2 - 2z + 2 \\ = > 2z - 2 \vdots x \\ 1)z = 1 = > x = y = > (x;y;z) = (k;k;1),k \in N^* \\ 2)z > 1 = > 2z - 2 = kx,k \ge 1 \\ (1) = > xy\left( {kx + 2} \right) = 2x^2 - 2kx \\ \Leftrightarrow y\left( {kx + 2} \right) = 2x - 2k < 2x = > y = k = 1 = > (x;y;z) = (4;1;1) \\ KL:(x,y,z) = (4;1;3);(k;k;1) \\ \end{array}[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

xyz = x^2 - 2z + 2
=> xyz - x^2 + 2z = 2
<=> x ( yz- 1 ) + 2z =2
xét trường hợp chia hết cho 2 ( 2 trường hợp)
( hihi mình mới học tc chia hết xong mừ )
nhưng chưa chắc đã đúng
các bạn góp ý nha

___________________
không hiểu!
Nếu xét trường hợp chia hết cho 2 ta có:
[TEX]x(yz-1)+2z \vdots 2[/TEX]
[TEX]2z \vdots 2[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x(yz-1) \vdots 2[/TEX]
Đến đây rồi làm thế nào?

 

[haojej]

Ta sử dụng bổ đề: Trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được 3 số sao cho tổng 3 số chia hết cho 3.

Xét số dư của 5 số tự nhiên khi chia cho 3.
+Nếu có 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 số đó chia hết cho 3.
+Nếu không có 3 số nào có cùng số dư khi chia cho 3 thì ít nhất tồn tại 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2 nên tổng 3 số này chia hết cho 3.

Vậy bổ đề được chứng minh.

Tiếp tục chứng minh:
Trong 17 số tự nhiên luôn chọn được 9 số sao cho tổng của 9 số chia hết cho 9.
Áp dụng bổ đề ở trên ta có :
Lấy 3 bộ 5 số ta chọn được 3 bộ số có tổng chia hết cho 3.
Như vậy còn 8 số, lấy tiếp 5 số thì ta chọn được 1 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Còn 5 số cuối cùng ta chọn được thêm 1 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Do đó ta có 5 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Tổng 5 bộ 3 số lần lượt là : [TEX]T_1;\ T_2;\ T_3\ T_4;\ T_5[/TEX]
Xét 5 số tự nhiên :
[TEX]\frac{T_1}{3};\ \frac{T_2}{3};\ \frac{T_3}{3};\ \frac{T_4}{3};\ \frac{T_5}{3}[/TEX] thì ta luôn chọn được 3 số chia hết cho 3 do đó tồn tại 3 số trong 5 tổng trên có tổng chia hết cho 9.

Trong 53 số tự nhiên ta chọn được 5 bộ, mỗi bộ gồm 9 số tự nhiên có tổng chia hết cho 9.
Tổng của các bộ số lần lượt là [TEX]S_1;\ S_2;\ S_3;\ S_4;\ S_5[/TEX]
Xét bộ 5 số tự nhiên [TEX]\frac{S_1}{9};\ \frac{S_2}{9};\ \frac{S_3}{9};\ \frac{S_4}{9};\ \frac{S_5}{9}[/TEX]áp dụng bổ đề ban đầu thì ta chọn được 3 số sao cho tổng chia hết cho 3 do đó trong 5 số [TEX]S_1;\ S_2;\ S_3;\ S_4;\ S_5[/TEX] sẽ tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 27( điều phải chứng minh)

Câu bên trên cùng đáng ra cậu phải nói là " trong 5 số tự nhiên liên tiếp bất kì"

 

[haojej]

Ta sử dụng bổ đề: Trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được 3 số sao cho tổng 3 số chia hết cho 3.

Xét số dư của 5 số tự nhiên khi chia cho 3.
+Nếu có 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 số đó chia hết cho 3.
+Nếu không có 3 số nào có cùng số dư khi chia cho 3 thì ít nhất tồn tại 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2 nên tổng 3 số này chia hết cho 3.

Vậy bổ đề được chứng minh.

Tiếp tục chứng minh:
Trong 17 số tự nhiên luôn chọn được 9 số sao cho tổng của 9 số chia hết cho 9.
Áp dụng bổ đề ở trên ta có :
Lấy 3 bộ 5 số ta chọn được 3 bộ số có tổng chia hết cho 3.
Như vậy còn 8 số, lấy tiếp 5 số thì ta chọn được 1 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Còn 5 số cuối cùng ta chọn được thêm 1 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Do đó ta có 5 bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Tổng 5 bộ 3 số lần lượt là : [TEX]T_1;\ T_2;\ T_3\ T_4;\ T_5[/TEX]
Xét 5 số tự nhiên :
[TEX]\frac{T_1}{3};\ \frac{T_2}{3};\ \frac{T_3}{3};\ \frac{T_4}{3};\ \frac{T_5}{3}[/TEX] thì ta luôn chọn được 3 số chia hết cho 3 do đó tồn tại 3 số trong 5 tổng trên có tổng chia hết cho 9.

Trong 53 số tự nhiên ta chọn được 5 bộ, mỗi bộ gồm 9 số tự nhiên có tổng chia hết cho 9.
Tổng của các bộ số lần lượt là [TEX]S_1;\ S_2;\ S_3;\ S_4;\ S_5[/TEX]
Xét bộ 5 số tự nhiên [TEX]\frac{S_1}{9};\ \frac{S_2}{9};\ \frac{S_3}{9};\ \frac{S_4}{9};\ \frac{S_5}{9}[/TEX]áp dụng bổ đề ban đầu thì ta chọn được 3 số sao cho tổng chia hết cho 3 do đó trong 5 số [TEX]S_1;\ S_2;\ S_3;\ S_4;\ S_5[/TEX] sẽ tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 27( điều phải chứng minh)

Bạn xét 5 số tự nhiên T1,T2,T3,T4,T5 nhưng chúng có liên tiếp đâu, vì vậy cũng không thể xét được,bạn xem lại được không.