Đề THPT Chuyên Bắc Giang 2006-2007

[bosjeunhan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Lâu ngày lục lại thấy có cái đề hay, post lên cho cả nhà xem nhá

Câu 1 : Giải hệ pt :
$\left\{ \begin{array}{l} y + xy^2 = 6x^2 \\ 1 + x^2y^2 = 5x^2 \end{array} \right.$

Câu 2 : Gọi $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt $x^2 - 4x + 1 = 0$ .
Chứng minh số $S = x_{1}^{2002} + x_{2}^{2002}$ không phải là số chính phương nhưng có thể phân tích được thành tổng của 3 số chính phương liên tiếp.

Câu 3 : Trong tất cả các tam giác nhọn ABC nội tiếp trong 1 đường tròn bán kính 1, hãy tìm tam giác làm cho biểu thức :
F = $\dfrac{1}{m_a} + \dfrac{1}{l_b} + \dfrac{1}{h_c}$ đạt GTNN
Trong đó : $m_a;l_b;h_c$ lần lượt là độ dài các đường : Trung tuyến kẻ từ A; phân giác trong của góc B và đường cao hạ từ C

Câu 4 : Cho $f(x) = x^4 + ax^3 +bx^2 + cx + d$ với a,b,c,d R.
Biết f(1) = 10 ; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính : $P = \dfrac{1}{10} [f(12) + f(-8) ] + 18$

Câu 5 : Cho các số nguyên x,y thỏa mãn :
$3x^2 + 3y^2 - 2xy + 2x + 2y - 8 = 0 .$
Tìm max và min của biểu thức : $T = x+ xy + y$

Câu 6 : Cho các số thực a;b thỏa mãn :
$0 < b < a \leq 2$ và $2ab \leq 2b+a$
Chứng minh rằng : $a^2 + b^2 \leq 5$

 

[son9701]

Câu cuối: (nhóm Abel):
Áp dụng khai triển Abel cho 2 dãy $\frac{4}{a^2};\frac{1}{b^2}$ và $a^2;b^2$ ta có:

$$5= b^2(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2})+(a^2-b^2).\frac{4}{a^2} \geq \frac{b^2(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})^2}{2}+(a^2-b^2).(\frac{2}{a})^2 \geq 2b^2+a^2-b^2 = a^2+b^2$$

Chú ý giả thiết tg đg vs: $$0 < b \leq a \ge 2 ; \frac{2}{a}+\frac{1}{b} \ge 2$$

 

[thaiha_98]

Câu 4:
+) Đặt: $g(x) = f(x) + h(x)$
Trong đó $h(x)$ là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của $f(x)$, đồng thời bậc của $h(x)$ nhỏ hơn số giá trị đã biết của $f(x)$. Theo đề bậc của $h(x)$ nhỏ hơn 3 nghĩa là:
$g(x) = f(x) + ax^2+bx+c$
+) Tìm $a,b,c$ để $g(1)=g(2)=g(3)=0$
Ta có hệ phương trình:
[TEX]\left{\begin{10+a+b+c=0}\\{20+4a+2b+c=0}\\{30+9a+3b+c=0} [/TEX]
Giải hệ phương trình trên ta được:
$a=0,b=-10,c=0$
Ta suy ra được $h(x) = -10x$
Hay $g(x) = f(x) -10x$
+) Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) - 10x
\Rightarrow $g(1) = g(2) = g(3) = 0$
Do bậc của $f(x)$ là bậc 4 nên bậc của $g(x)$ là bậc 4 và $g(x)$ chia hết cho $x-1,x-2,x-3,x-4$
\Rightarrow $g(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+10x$
Ta tính được $P=\frac{1}{10}[f(12+f(-8)]+18=1984+18=2002$