Đề thi

[thjenthantrongdem_bg]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là một số bài tập khó (bài cuối cùng của các đề thi tuyển sinh )
Bài 1: (trích trong đề thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn- Thanh Hoá)
Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện [TEX]{x}^{3}+{y}^{3}= -2[/TEX]
CMR: -2 \leqx+y\leq0

Bài 2:
Cho các số nguyên a, b, c khác 0 thoả mãn [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} =3[/TEX]
CMR: abc là lập phương của một số nguyên

Bài 3: (tuyển sinh THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1. CMR
[TEX]\frac{1}{a+b+c}\leq \frac{a}{{(ab+a+1)}^{2}}+\frac{b}{{(bc+b+1)}^{2}}+\frac{c}{{(ca+c+1)}^{2}}[/TEX]

Mỗi lần post 3 bài lên cho các bạn tham khảo

 

[quan8d]

Đây là một số bài tập khó (bài cuối cùng của các đề thi tuyển sinh )
Bài 1: (trích trong đề thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn- Thanh Hoá)
Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện [TEX]{x}^{3}+{y}^{3}= -2[/TEX]
CMR: -2 \leqx+y\leq0

[tex]x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = -2[/tex]
Do [tex]x^2-xy+y^2 > 0[/tex] nên [tex]x+y \leq 0[/tex]
Giả sử [tex]x+y \leq -2[/tex] thì [tex](x+y)^3 \leq -8[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy(x+y) \leq -8[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3xy(x+y) \leq -6[/tex]
[tex]\Leftrightarrow xy(x+y) \leq -2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow xy(x+y) \leq x^3+y^3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow xy(x+y) \leq (x+y)(x^2-xy+y^2)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow xy \geq x^2-xy+y^2[/tex] ( vì [tex]x+y \leq -2[/tex] )
[tex]\Leftrightarrow 0 \geq (x-y)^2 [/tex], vô lý
[tex]\Rightarrow x+y \geq -2[/tex]
Vậy [tex] -2 \leq x+y \leq 0[/tex]

 

[tell_me_goobye]

Đây là một số bài tập khó (bài cuối cùng của các đề thi tuyển sinh )
Bài 1: (trích trong đề thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn- Thanh Hoá)
Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện [TEX]{x}^{3}+{y}^{3}= -2[/TEX]
CMR: -2 \leqx+y\leq0

Bài 2:
Cho các số nguyên a, b, c khác 0 thoả mãn [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} =3[/TEX]
CMR: abc là lập phương của một số nguyên

Bài 3: (tuyển sinh THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1. CMR
[TEX]\frac{1}{a+b+c}\leq \frac{a}{{(ab+a+1)}^{2}}+\frac{b}{{(bc+b+1)}^{2}}+\frac{c}{{(ca+c+1)}^{2}}[/TEX]

Mỗi lần post 3 bài lên cho các bạn tham khảo

mình không làm đượcbài 2 nhưng mình góp thêm một bài nè

giả sử x,y là các số nguyên dướngao cho

A=[TEX]\frac{x^2+y^2+6}{xy}[/TEX]là một số nguyên.CMR A là lập phuơng đúng .

 

[thjenthantrongdem_bg]

Bài 2:
Cho các số nguyên a, b, c khác 0 thoả mãn [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} =3[/TEX]
CMR: abc là lập phương của một số nguyên

Đặt [TEX]\frac{a}{b}={x}^{3}[/TEX]
[TEX] \frac{b}{c}={y}^{3}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{a}={z}^{3}[/TEX]
Suy ra[TEX] {x}^{3} +{y}^{3}+{z}^{3}=3xyz [/TEX]
hay[TEX] (x+y+z)({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} -xy-yz-zx)=0[/TEX]
+Nếu [TEX]{x}^{2} +{y}^{2}+{z}^{2} -xy-yz-zx=0 ---> x=y=z=1[/TEX]. Suy ra a=b=c nên [TEX]abc={a}^{3}[/TEX]
+ Xét x+y+z=0, sẽ chứng minh được
[TEX] abc={(\frac{bc-ab}{a-b})}^{3}[/TEX]
Vì abc nguyên nên vế phải là lập phương của một số nguyên
Các bạn giải tiếp bài 3 nhé