Đề thi vào lớp 10 ĐHQG Hà Nội

[cangaru]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là những bài khó mà mình sàn lọc từ các đề ĐHQG
Bài1.a. Với mỗi số dương a thoả mãn[TEX] a^3=6(a+1)[/TEX], chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm: [TEX]x^2+ax+a^2-6=0[/TEX]
b.Tìm tất cả các giá trị của a và b sao cho:
[TEX]2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1)[/TEX]
Bài 2. Ba số nguyên dương a,b,c đôi 1 khác nhau và thoả mãn đồng thời các điều kiện:
i) a là ước của b+c+bc;
ii) b là ước của a+c+ac;
iii) c là ước của a+b+ab.
a. Hãy chỉ ra một bộ 3 số (a;b;c) thoả mãn các điều kiện trên.
b. Chứng minh rằng a,b,c ko thể đồng thời là các số nguyên tố.
Bài 3.a,Giải hệ phương trình:[TEX] \left{\begin{x^2+y^2=2x}\\{(x-1)^3+y^3=1}[/TEX]
b.Giải phương trình [TEX](2x+7)\sqrt{2x+7}=x^2+9x+7[/TEX]
Bài 4.a) Tìm tất cả các số có 4 chữ số abcd (có dấu gạch trên đầu) thoả mãn đồng thời các điều kiện abcd chia hết cho 3 và abc-bda=650 (có dấu gạch trên đầu)
b) Tìm tất cả các số nguyên p sao cho phương trình [TEX]2x^2-(p+1)x+p+2008=0 [/TEX]có các nghiệm là những số nguyên.
Bài 5.Giả sử a,b là các số nguyên dương thay đổi thoả mãn [TEX]\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}.[/TEX]
Hày tìm giá trị lớn nhất của biểu thức [TEX]P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}[/TEX]
Bài 6. a)Giải hệ phương trình[TEX] \left{\begin{2x^2y-y^2x=1}\\{8x^3-y^3=7}[/TEX]
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức[TEX] y=x+\sqrt{2(1-x)}[/TEX] với [TEX]0 \leq x\leq 1.[/TEX]
Bài 7.a) Tìm các số nguyên x,y thoả mãn đẳng thức
[TEX]2x^2+y^2+3xy+3x+2y+2=0.[/TEX]
b) Tìm các số nguyên dương a,b,c sao cho[TEX] \frac{(ab-1)(bc-1)(ac-1)}{abc}[/TEX] là một số nguyên.
Bài 8. Cho phương trình [TEX]a_0x^n+a_1x^(n-1)+...+a_(n-1)x+a_n=0[/TEX] (1), trong đó các hệ số của phương trình chỉ nhận một trong 3 giá trị 0;1;-1 và [TEX]a_0[/TEX] khác 0. Chứng minh rằng nếu [TEX]x_0 [/TEX]là nghệim của pt (1) thì [TEX]|x_0|<2[/TEX]
Các bạn giải dùm mình, cảm ơn nhiều

 

[nhockthongay_girlkute]

BÀI 1
a,ta có [TEX]a^3=6(a+1)[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]a(a^2-6)=6[/TEX](*)
xét ft [TEX]x^2+ax+a^2-6=0[/TEX]
ta có [TEX]\triangle\[/TEX]=[TEX]24-3a^2[/TEX]
-nếu [TEX]0<a\le\2\sqrt{2}[/TEX]\Rightarrow[TEX]a^2\le\8[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a^2-6\le\2[/TEX]\Rightarrow[TEX]a(a^2-6)\le\4\sqrt{2}<6[/TEX] trái vs (*)
-nếu [TEX]a>2\sqrt{2}[/TEX]\Rightarrow[TEX]a^2>8[/TEX]\Rightarrow[TEX]3a^2>24[/TEX]\Rightarrow[TEX]\triangle\<0[/TEX]
vậy ft vô nghiệm

 

[nhockthongay_girlkute]

bài 3
a,[TEX]\left{\begin{x^2+y^2=2xy}\\{(x-1)^3+y^3=1}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{(x-1)^2+y^2=1}(1)\\{(x-1)^3+y^3=1}(2)[/TEX]
đặt [TEX]x-1=a[/TEX] ta có [TEX]\left{\begin{a^2+y^2=1}(3)\\{a^3+y^3=1}(4)[/TEX]
từ (4)\Leftrightarrow[TEX](a+y)^3-3ay(a+y)=1(5)[/TEX]
từ (3)\Leftrightarrow[TEX](a+y)^2-2ay=1[/TEX]\Rightarrow[TEX]ay=\frac{(a+y)^2-1}{2}[/TEX]thay vào (5) ta đc
[TEX]2(a+y)^3-(a+y)^2+1=0[/TEX]\Rightarrow[TEX]\left[\begin{a+y=1}\\{a+y=\frac{-1}{2}}[/TEX]
-với a+y=1\Rightarrow ay=0\Leftrightarrowa=0;y=0 hoăvj a=1;y=0
vậy hệ có nghiệm (x=1;y=1) ;(x=2;y=0)
- vs [TEX]a+y=\frac{-1}{2}[/TEX]\Rightarrow[TEX]ay=\frac{-3}{8}[/TEX]
hệ có nghiệm [TEX](x=\frac{3-\sqrt{7}}{4};y=\frac{\sqrt{7}-1}{4})[/TEX]
[TEX](x=\frac{3+\sqrt{7}}{4};y=\frac{-\sqrt{7}-1}{4}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

Đây là những bài khó mà mình sàn lọc từ các đề ĐHQG


Bài 4.
b) Tìm tất cả các số nguyên p sao cho phương trình [TEX]2x^2-(p+1)x+p+2008=0 [/TEX]có các nghiệm là những số nguyên.

Các bạn giải dùm mình, cảm ơn nhiều

gọi [TEX]x_1;x_2[/TEX]là nghiệm nguyên của ft [TEX]2x^2-(p+1)x+p+2008=0[/TEX]
áp dụng hệ thức viet ta có [TEX]\left{\begin{x_1+x_2=\frac{p+1}{2}}\\{x_1x_2=\frac{p+2008}{2}}[/TEX]
vì [TEX]x_1;x_2[/TEX]nguyên \Rightarrow[TEX]x_1+x_2[/TEX]nguyên ;[TEX]x_1x_2[/TEX]nguyên
\Rightarrow[TEX]\frac{p+1}{2};\frac{p+2008}{2}[/TEX]nguyên\Rightarrow[TEX]p+1;p+2008[/TEX]cùg chắn \Rightarrowvô lí
vậy ft đã cho ko có nghiệm nguyên

 

[son_9f_ltv]

bài 5 ĐK đúng ko vậy bạn? ?

 

[nhockthongay_girlkute]

Đây là những bài khó mà mình sàn lọc từ các đề ĐHQG


Bài 6. a)Giải hệ phương trình[TEX] \left{\begin{2x^2y-y^2x=1}(1)\\{8x^3-y^3=7}(2)[/TEX](*)

Các bạn giải dùm mình, cảm ơn nhiều

ta có (*)[TEX]\left{\begin{12x^2y-6xy^2=6}(3)\\{8x^3-y^3=7}(4)[/TEX]
trừ từng vế của ft(4) cho ft (3) ta đc
[TEX](2x-y)^3=1[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]2x-y=1[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]y=2x-1[/TEX]
thế vào (2) ta đc ft [TEX]8x^3-(2x-1)^3=7[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]2x^2-x-1=0[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x_1=1;x_2=\frac{-1}{2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]y_1=1;y_2=-2[/TEX]
vậy..

 

[nhockthongay_girlkute]

Đây là những bài khó mà mình sàn lọc từ các đề ĐHQG

Bài 7.a) Tìm các số nguyên x,y thoả mãn đẳng thức
[TEX]2x^2+y^2+3xy+3x+2y+2=0.[/TEX](*)

Các bạn giải dùm mình, cảm ơn nhiều

ta có (*)\Leftrightarrow[TEX]y^2+(3x+2)y+2x^2+3x+2=0[/TEX](coi đây là ft bậc 2ẩn y)(1)
[TEX]\triangle\[/TEX]=[TEX](3x+2)^2-4(2x^2+3x+2)[/TEX]
=[TEX]x^2-4[/TEX]
để ft (1) có nghiệm y nguyên thì delta là số chình phương
đặt [TEX]\triangle\[/TEX]=[TEX]k^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2-4=k^2[/TEX]
đến đây đưa về ft tích là ok

 

[vnzoomvodoi]

Bài 6.
Pt sau [TEX]\Leftrightarrow(2x-y)(4x^2+y^2+2xy)=7[/TEX]
Pt đầu [TEX]\Leftrightarrow(2x-y)xy=1[/TEX]
y=2x:...
y#2x: Chia pt đầu cho pt sau ta có [TEX]4x^2+y^2+2xy=7xy\Leftrightarrow4x^2+y^2-5xy=0[/TEX]
Đây là phương trình có thể đưa được về dạng tích

 

[nhockthongay_girlkute]

Đây là những bài khó mà mình sàn lọc từ các đề ĐHQG


Bài 6.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức[TEX] y=x+\sqrt{2(1-x)}[/TEX] với [TEX]0 \leq x\leq 1.[/TEX]

Các bạn giải dùm mình, cảm ơn nhiều

ta có[TEX]y=x+\sqrt{2(1-x)}=\frac{2x+2sqrt{2-2x}}{2}=\frac{3-(2-2x-2\sqrt{2-2x}+1)}{2}=\frac{3}{2}-\frac{(\sqrt{2-2x}-1)^2}{2}\le\[/TEX][TEX]\frac{3}{2}[/TEX]
đẳng thức xảy ra khi [TEX]x=\frac{1}{2}[/TEX]
vậy max y=[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]khi x=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]

 

[bigbang195]

Câu 7 b/

đã có

để biểu thức thuộc nguyên chỉ cần tìm a,b,c sao cho
[TEX]\frac{\sum_{cyc} ab-1}{abc} \in Z^+[/TEX]

đặt nó là k thì

[TEX]\sum_{cyc} ab-1=kabc[/TEX]

không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a \ge b \ge c[/TEX]

khi đó

[TEX]3ab > 3ab-1 \ge \sum_{cyc} ab-1=kabc[/TEX]

hay [TEX]3 >kc[/TEX]

dễ dàng tìm được k và c &gt;-

 

[bigbang195]

ta có[TEX]y=x+\sqrt{2(1-x)}=\frac{2x+2sqrt{2-2x}}{2}[/TEX]

Using CauChy:

[TEX]\fbox{\blue \frac{2x+2sqrt{(2-2x).1}}{2} \le \frac{2x+3-2x}{2}=\frac{3}{2}[/TEX]

 

[vnzoomvodoi]

Gpt

Bài giải pt
Pt [TEX]\Leftrightarrow x\sqrt[2]{2x+7}+(x+7)\sqrt[2]{2x+7}=x^2+7x+2x+7[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt[2]{2x+7}(x-\sqrt[2]{2x+7})-(x+7)(x-\sqrt[2]{2x+7})=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x-\sqrt[2]{2x+7})(\sqrt[2]{2x+7}-x-7)=0[/TEX]
Pt tích!

 

[ngocmai_vp95]

sao bài 2 dễ zậy mà mọi người không ai chém nhỉ
thêm mấy bài nữa nhưng mà của DHNN-DHQGHN
1.cho pt(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=m.Biết pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt x1,x2,x3,x4.
CM.....x1.x2.x3.x4=24-m
2.với x,y là những số thực thoả mãn...x+y+xy=8
Tìm giá trị nhở nhất của biểu thứ=[TEX]x^2+y^2[/TEX]
Đại học sư phạm HN
1Giải hệ phươngg trình: xz=x+4
[TEX]2y^2=7xz-3x-14[/TEX]
[TEX]X^2+z^2=35-y^2[/TEX]
2Cho x1,x2,x3,x4 là 4 số dương thay dổi thoả mãn
x1+x2x+X3+x4=1
tìm min:[TEX]\frac{x1^4+x2^4+x3^4+x4^4}{x1^3+x2^3+x3^3+x4^3[/TEX]
3.Giả sử x1,x2 là 2 số dương đã cho,a và b theo thứ tự là trung bình cộng và trung bình nhân của x1,x2.biết tỉ số[TEX]\frac{a}{b}[/TEX] là một số nguyên dương.
CMR..........x1=x2
:_mong mọi người vào ủng hộ

 

[bigbang195]

Nhân lại :khi (54):

 

[kukumalu_2010]

Giải hệ phươngg trình: xz=x+4(1)
[TEX]2y^2=7yz-3x-14[/TEX](2)
[TEX]x^2+z^2=35-y^2[/TEX](3)

(1)\Leftrightarrowx=xz-4,thay vào (2) đc : [TEX]y^2=2xz-1[/TEX],thay vào (3) ta có [TEX]x^2+z^2=36-2xz\Leftrightarrow(x+z)^2=36[/TEX] suy ra x+z=6 hoặc x+z=-6
Sau đó thay vào (1) để tính x,z ....................
Hệ đã cho có 6 nghiệm :
(x;y;z)=(1;3;5),(1;-3;5),(4; [TEX]\sqrt{15} [/TEX];2),(4;-[TEX]\sqrt{15} [/TEX];2),[TEX](\frac{-7+\sqrt{33}}{2}; \sqrt[4]{33};\frac{-5-\sqrt{33}}{2})[/TEX],[TEX](\frac{-7+\sqrt{33}}{2}; -\sqrt[4]{33};\frac{-5-\sqrt{33}}{2})[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

sao bài 2 dễ zậy mà mọi người không ai chém nhỉ
thêm mấy bài nữa nhưng mà của DHNN-DHQGHN
1.cho pt(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=m(*).Biết pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt x1,x2,x3,x4.
CM.....x1.x2.x3.x4=24-m

:_mong mọi người vào ủng hộ

(*)\Leftrightarrow[TEX](x^2+5x+4)(x^5+5x+6)=m[/TEX]
đặt [TEX]x^3+5x+4=t[/TEX]\Rightarrow[TEX]x^2+5x+6=t+2[/TEX]
ta có ft [TEX]t(t+2)=m[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]t^2+2t-m=0[/TEX](1)
vì ft (*) có 4 nghiệm phân biệt nên ft (1) có 2 nghiệm phân biệt [TEX]t_1;t_2[/TEX]
và [TEX]x^2-5x+4=t_1(2);x^2+5x4=t_2.........(3)[/TEX]có 2 nghiệm phân biệt
(2)\Leftrightarrow[TEX]x^2+5x+4-t_1=0[/TEX](4)
(3)\Leftrightarrow[TEX]x^2+5x+4-t_2=0[/TEX](5)
gọi [TEX]x_1;x_2[/TEX]là các nghiệm của ft (4),[TEX]x_3;x_4[/TEX]là các nghiệm của ft (5)
áp dụng hệ thức viet ta có[TEX]\left{\begin{x_1x_2= 4-t_1}\\{x_3x_4= 4-t_2[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x_1x_2x_3x_4=(4-t_1)(4-t_2)=16-4(t_1+t_2)+t_1t_2[/TEX]
áp dụng viet ta có[TEX]\left{\begin{t_1+t_2= -2}\\{t_1t_2=-m}[/TEX]
vậy [TEX]x_1x_2x_3x_4=16-4(-2)-m=24-m[/TEX]

 

[nhocnghichngom_9x]

(1)\Leftrightarrowx=xz-4,thay vào (2) đc : [TEX]y^2=2xz-1[/TEX],thay vào (3) ta có [TEX]x^2+z^2=36-2xz\Leftrightarrow(x+z)^2=36[/TEX] suy ra x+z=6 hoặc x+z=-6
Sau đó thay vào (1) để tính x,z ....................
Hệ đã cho có 6 nghiệm :
(x;y;z)=(1;3;5),(1;-3;5),(4; [TEX]\sqrt{15} [/TEX];2),(4;-[TEX]\sqrt{15} [/TEX];2),[TEX](\frac{-7+\sqrt{33}}{2}; \sqrt[4]{33};\frac{-5-\sqrt{33}}{2})[/TEX],[TEX](\frac{-7+\sqrt{33}}{2}; -\sqrt[4]{33};\frac{-5-\sqrt{33}}{2})[/TEX]

tại sao y^2=2xz-1 vậy bạn
bạn có nhầm không vậy ..............................................

 

[nhockthongay_girlkute]

tại sao y^2=2xz-1 vậy bạn
bạn có nhầm không vậy ..............................................

bạn kukumalu làm đúng rồi đó bạn ah
[TEX]x=xz-4[/TEX]thay vào (2) ta đc
[TEX]2y^2=7xz-3(xz-4)-14[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2y^2=4xz-2[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]y^2=2xz-1[/TEX]...................

 

[nhocnghichngom_9x]

thế là đề sai àh!
Đề là 2y^2= 7yz - 3x -14 chứ đâu phải 2y^2=7xz -3x -14
MÌnh đâu có lầm
Mong bạn đọc kỹ đề trước đã.

 

[ngocmai_vp95]

sorry các bạn nhé đề có sai thật nhưng mà mính sửa lại rùi đó