Đề thi tuyển sinh vào 10 toán chuyên Bắc Giang 2011-2012, 4/7/2011

[bboy114crew]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Bắc Giang
Năm học 2011-2012
Môn thi : Toán
Ngày thi : 04/7/2011
Thời gian làm bài : 150 phút ,ko kể thời gian phát đề.

Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức :
$$A = [ \frac{ a - x }{ \sqrt{a} - \sqrt{x} } -\frac{ a \sqrt{a} - x \sqrt{x} }{ a - x }] [ \frac{( \sqrt{a} + \sqrt{x}}{ a \sqrt{a}+x \sqrt{x}} )^2] : (\sqrt[3]{\frac{7-5\sqrt{2}}{8}} +\sqrt[3]{\frac{7+5\sqrt{2}}{8} )}$$
1) Rút gọn .A
2) TRong trường hợp A có nghĩa hãy so sánh ( có giải thích ) A với $$A^{2011}$$
Câu 2 : ( 3,0 điểm) Giải hệ phuơng tr“nh :
[tex] \left\{\begin{array}{l}x (x^2+4y^2) =8y^4(y^2+1)\\\sqrt{5x+6}+\sqrt{2y^2+7}=7\end{array}\right [/tex]
Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho các số $$a=111...11$$( g�“m 2012 chữ số 1), $$b=1000...005$$( trong đó có 2011 chữ số 0) và $$T= \sqrt{ab+1}$$ .CMR T là số nguyên .Hãy t“m số dư trong phép chia T cho 7
Câu 4 : ( 6,0 điểm) Trên đường tròn C tâm O, bán kính R vẽ dây AB < 2R.Từ A,Bvẽ các tiếp tuyến Ax,By với đường tròn C .Lấy điểm M bất k“ trên cung nhỏ AB .Gọi H,K,I lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống AB,Ax và By.
1) CMR: $$MH^2 = MK.MI$$
2) Gỉa sử AM cắt KH tại E,BM cắt HI tại F.CMF: EF là tiếp tuyến chong của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK,MFI.
3) Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFI.CMR: khi M di chuyển trên cung nhỏ AB th“ đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định .
Câu 5: (2,0 điểm) Cho hai đa thức
$$P(x)= x^4+ax^3+bx^2+cx+1;Q(x)= x^4+cx^3+bx^2+ax+1$$ với $$a \neq c$$.Biết các phương tr“nh $$P(x)=0;Q(x)=0$$ có hai nghiệm chung .
Hãy t“m tất cả các nghiệm của hai phương tr“nh đó.
Câu 6 : ( 2,0 điểm) Cho các số thực $$a_1;a_2;...;a_{2011} \in [1;3]$$ và thoả mãn :
$$S=a_1^3+a_2^3+...+a_{2011}^3=12307$$
T“m giá trị nhỏ nhất của :
$$P=a_1+a_2+...+a_{2011}$$
p\s: Làm hết! ^_^

 

[tuyn]

Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Bắc Giang
Năm học 2011-2012
Môn thi : Toán
Ngày thi : 04/7/2011
Thời gian làm bài : 150 phút ,ko kể thời gian phát đề.
Câu 2 : ( 3,0 điểm) Giải hệ phuơng tr“nh :
[tex] \left\{\begin{array}{l}x (x^2+4y^2) =8y^4(y^2+1)(1)\\\sqrt{5x+6}+\sqrt{2y^2+7}=7(2)\end{array}\right [/tex]

Dễ thấy từ PT (1) \Rightarrow x \geq 0
+Nếu x < 2.Từ [TEX]PT (2) \Rightarrow 7 < sqrt{5.2+6}+\sqrt{2y^2+7}=3+\sqrt{2y^2+7} \Leftrightarrow y^2 \geq 1[/TEX]
[TEX]VT (1) < 2(2^2+4y^2)=8(y^2+1),VP (1) > 8.1^2(y^2+1)=8(y^2+1) \Rightarrow VP > VT \Rightarrow HPTVN[/TEX]
+x > 2. Từ [TEX]PT (2) \Rightarrow y^2 < 1[/TEX]
[TEX]VT (1) > 8(y^2+1),VP(1) < 8(y^2+1) \Rightarrow HPTVN[/TEX]
[TEX]*x=2 \Rightarrow y^2=1[/TEX] là NGHIỆM CUẢ HPT
Vậy Hệ có nghiệm (x;y)=(2;1) và (2;-1)

 

[quan8d]

Câu 6 : ( 2,0 điểm) Cho các số thực $$a_1;a_2;...;a_{2011} \in [1;3]$$ và thoả mãn :
$$S=a_1^3+a_2^3+...+a_{2011}^3=12307$$
T“m giá trị nhỏ nhất của :
$$P=a_1+a_2+...+a_{2011}$$
p\s: Làm hết! ^_^

[TEX] ({a}_{i}-1)({a}_{i}-3)({a}_{i}+4) \leq 0[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow {a}_{i}^3+12 \leq 13{a}_{i[/TEX]}
[TEX]\rightarrow P \geq 2803[/TEX]
[TEX]"=" \leftrightarrow[/TEX] 396 số = 3 , còn lại = 1

 

[th1104]

Dễ thấy từ PT (1) \Rightarrow x \geq 0
+Nếu x < 2.Từ [TEX]PT (2) \Rightarrow 7 < sqrt{5.2+6}+\sqrt{2y^2+7}=3+\sqrt{2y^2+7} \Leftrightarrow y^2 \geq 1[/TEX]
[TEX]VT (1) < 2(2^2+4y^2)=8(y^2+1),VP (1) > 8.1^2(y^2+1)=8(y^2+1) \Rightarrow VP > VT \Rightarrow HPTVN[/TEX]
+x > 2. Từ [TEX]PT (2) \Rightarrow y^2 < 1[/TEX]
[TEX]VT (1) > 8(y^2+1),VP(1) < 8(y^2+1) \Rightarrow HPTVN[/TEX]
[TEX]*x=2 \Rightarrow y^2=1[/TEX] là NGHIỆM CUẢ HPT
Vậy Hệ có nghiệm (x;y)=(2;1) và (2;-1)

bài hệ này thì mình làm khác.
Từ phương trình đầu chuyển vế phân tích được thành tích.
\Leftrightarrow [TEX](x-2y^2) (x^2 + 4xy^2 + 4y^4 + 4y^2) = 0[/TEX]

dễ dàng CM được [TEX]x^2 + 4xy^2 + 4y^4 + 4y^2 [/TEX] \geq 0

ĐTXR \Leftrightarrow x = y =0 điều này không xảy ra ở phương trình thứ 2

trường hợp còn lại thì [TEX]x = 2y^2[/TEX] thế vào là ra thui à

 

[conami]

Câu 4 : ( 6,0 điểm) Trên đường tròn C tâm O, bán kính R vẽ dây AB < 2R.Từ A,Bvẽ các tiếp tuyến Ax,By với đường tròn C .Lấy điểm M bất k“ trên cung nhỏ AB .Gọi H,K,I lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống AB,Ax và By.
1) CMR: $$MH^2 = MK.MI$$
2) Gỉa sử AM cắt KH tại E,BM cắt HI tại F.CMF: EF là tiếp tuyến chong của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK,MFI.
3) Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFI.CMR: khi M di chuyển trên cung nhỏ AB thì“ đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định

1) [TEX]\triangle KMH \sim \triangle HMI (g.g) \Rightarrow[/TEX] ĐPCM
2) Câu này hình như bạn ghi nhầm đê, EF là tiếp tuyến chung ngoài.
Ta có [TEX]\widehat{EHM}=\widehat{KHM}=\widehat{KAM}=\widehat{ABM}[/TEX]
Tương tự: [TEX]\widehat{FHM}=\widehat{BAM}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \widehat{EHF}+\widehat{EMF}=180^o[/TEX]
Do đó tứ giác [TEX]EHFM[/TEX] nội tiếp, suy ra [TEX]\widehat{MEF}=\widehat{MHF}=\widehat{MKE}[/TEX] , suy ra [TEX]EF[/TEX] là tiếp tuyến của [TEX](EMK)[/TEX]
Tương tự suy ra ĐPCM
3) câu này làm mãi không ra ức chế kinh khủng ( . Bboy làm hết thử nói cách làm tớ xem với

 

[th1104]

phần cuối bài hình đi qua trung điểm của AB. Gọi S là giao điểm của DM với EF.

Ta có ES.ES = SM.SD, SF.SF= SM. SD (cái này theo phương tích)

Do đó S là trung điểm của EF.

Ta có EF // AB (dễ chứng minh được theo phần b)

Gọi giao điểm của DM và AB là P

Áp dụng định lý Ta let ta có: SM/MP = ES/ AP = SF/ BP

Mà ES = SF nên AP = BP => P là trung điểm của AB

P/s. mình ko vẽ hình, chỉ nhớ mang máng thế nên nếu có sai đỉnh hay cạnh gì thì thông cảm nha

 

[locxoaymgk]

Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Bắc Giang
Năm học 2011-2012
Môn thi : Toán
Ngày thi : 04/7/2011
Thời gian làm bài : 150 phút ,ko kể thời gian phát đề.

Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức :
$$A = [ \frac{ a - x }{ \sqrt{a} - \sqrt{x} } -\frac{ a \sqrt{a} - x \sqrt{x} }{ a - x }] [ \frac{( \sqrt{a} + \sqrt{x}}{ a \sqrt{a}+x \sqrt{x}} )^2] : (\sqrt[3]{\frac{7-5\sqrt{2}}{8}} +\sqrt[3]{\frac{7+5\sqrt{2}}{8} )}$$
1) Rút gọn .A
2) TRong trường hợp A có nghĩa hãy so sánh ( có giải thích ) A với $$A^{2011}$$
Câu 2 : ( 3,0 điểm) Giải hệ phuơng tr“nh :
[tex] \left\{\begin{array}{l}x (x^2+4y^2) =8y^4(y^2+1)\\\sqrt{5x+6}+\sqrt{2y^2+7}=7\end{array}\right [/tex]
Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho các số $$a=111...11$$( g�“m 2012 chữ số 1), $$b=1000...005$$( trong đó có 2011 chữ số 0) và $$T= \sqrt{ab+1}$$ .CMR T là số nguyên .Hãy t“m số dư trong phép chia T cho 7
Câu 4 : ( 6,0 điểm) Trên đường tròn C tâm O, bán kính R vẽ dây AB < 2R.Từ A,Bvẽ các tiếp tuyến Ax,By với đường tròn C .Lấy điểm M bất k“ trên cung nhỏ AB .Gọi H,K,I lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống AB,Ax và By.
1) CMR: $$MH^2 = MK.MI$$
2) Gỉa sử AM cắt KH tại E,BM cắt HI tại F.CMF: EF là tiếp tuyến chong của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK,MFI.
3) Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFI.CMR: khi M di chuyển trên cung nhỏ AB th“ đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định .
Câu 5: (2,0 điểm) Cho hai đa thức
$$P(x)= x^4+ax^3+bx^2+cx+1;Q(x)= x^4+cx^3+bx^2+ax+1$$ với $$a \neq c$$.Biết các phương tr“nh $$P(x)=0;Q(x)=0$$ có hai nghiệm chung .
Hãy t“m tất cả các nghiệm của hai phương tr“nh đó.
Câu 6 : ( 2,0 điểm) Cho các số thực $$a_1;a_2;...;a_{2011} \in [1;3]$$ và thoả mãn :
$$S=a_1^3+a_2^3+...+a_{2011}^3=12307$$
T“m giá trị nhỏ nhất của :
$$P=a_1+a_2+...+a_{2011}$$
p\s: Làm hết! ^_^

Bài 3:
Ta có [TEX]a=\frac{10^{2012}-1}{9}[/TEX]
[TEX] b= 10^{2012}+5[/TEX]

Ta có[TEX] ab+1=(\frac{10^{2012}-1}{9})(10^{2012}+5)+1[/TEX]

[TEX] = \frac{(10^{2012}-1)(10^{2012}+5)+9}{9}[/TEX]

[TEX]= \frac{(10^{2012})^2+4.10^{2012}+4)}{9}[/TEX]

[TEX]= \frac{(10^{2012}+2)^2}{9}[/TEX]

[TEX] \Rightarrow \sqrt{ab+1}= \frac{10^{2012}+2}{3}[/TEX]

Mà [TEX] 10^{2012}+2[/TEX] luôn chia hết cho 3

[TEX]\Rightarrow \sqrt{ab+1}[/TEX] Là số nguyên.
Còn cái số dư kia thì chưa mò ra dc!!

 

[nerversaynever]

Bài 3:
Ta có [TEX]a=\frac{10^{2012}-1}{9}[/TEX]
[TEX] b= 10^{2012}+5[/TEX]

Ta có[TEX] ab+1=(\frac{10^{2012}-1}{9})(10^{2012}+5)+1[/TEX]

[TEX] = \frac{(10^{2012}-1)(10^{2012}+5)+9}{9}[/TEX]

[TEX]= \frac{(10^{2012})^2+4.10^{2012}+4)}{9}[/TEX]

[TEX]= \frac{(10^{2012}+2)^2}{9}[/TEX]

[TEX] \Rightarrow \sqrt{ab+1}= \frac{10^{2012}+2}{3}[/TEX]

Mà [TEX] 10^{2012}+2[/TEX] luôn chia hết cho 3

[TEX]\Rightarrow \sqrt{ab+1}[/TEX] Là số nguyên.
Còn cái số dư kia thì chưa mò ra dc!!

[TEX]\begin{array}{l} T = \frac{{10^{2012} + 2}}{3} \\ 10^6 \equiv 1(\bmod 7) \\ = > 10^{2012} + 2 \equiv 10^2 + 2 \equiv 4(\bmod 7) \\ = > 3T \equiv 4(\bmod 7) \\ = > T \equiv 6(\bmod 7) \\ \end{array}[/TEX]